Question

如图，BE，CD相交于点A，∠DEA，∠BCA的平分线相交于F．
（1）探求∠F与∠B，∠D有何等量关系？
（2）当∠B：∠D：∠F=2：4：x时，求x的值．

Answer 1

分析：（1）由三角形内角和外角的关系可知∠D+∠1=∠3+∠F，∠2+∠F=∠B+∠4，由角平分线的性质可知∠1=∠2，∠3=∠4，故∠F=

1

2

（∠B+∠D）．
（2）设∠B=2α，则∠D=4α．利用（1）中的结论和已知条件来求x的值．

解答：解：（1）∠F=

1

2

（∠B+∠D）；
理由如下：
∵∠DHF是△DEH的外角，∠EHC是△FCH的外角，∠DHF=∠EHC，
∴∠D+∠1=∠3+∠F  ①
同理，∠2+∠F=∠B+∠4  ②
又∵∠DEA，∠BCA的平分线相交于F
∴∠1=∠2，∠3=∠4
∴①-②得：∠B+∠D=2∠F，即∠F=

1

2

（∠B+∠D）．

（2）∵∠B：∠D：∠F=2：4：x，
∴设∠B=2α，则∠D=4α，
∴∠F=

1

2

（∠B+∠D）=3α，
又∠B：∠D：∠F=2：4：x，
∴x=3．

点评：本题考查来了三角形外角的性质及角平分线的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．