Question

如图，△ABC内接于半圆，AB为直径，过点A 作直线MN，若∠MAC=∠ABC。
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）设D是的中点，连结BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，求证：FD=FG；
（3）在（2）的条件下，若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积。

Answer 1

（1）∵AB是直径 ∴∠ACB=90°
∴∠CAB+∠ABC=90°
∵∠MAC=∠ABC
∴∠MAC+∠CAB=90°，
∴∠MAB=90°，
∴MN是半圆的切线
（2）∵D是弧AC的中点，
∴∠DBC=∠ABD，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°
∴∠CBG+∠CGB=90°
∵DE⊥AB，
∴∠FDG+∠ABD=90°
∵∠DBC=∠ABD，
∴∠FDG=∠CGB=∠FGD，
∴FD=FG
（3）过点F作FH⊥DG于H，
又∵DF=FG，DG=3， S△DFG=4.5，
∴HG=1.5， S△FGH=S△DFG=×4.5=
∵AB是直径，FH⊥DG ，
∴∠C=∠FHG=90°
又∠HGF=∠CGB，
∴△FGH∽△BGC