Question

如图，C为以AB为直径的⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若CD=3，AC=3，求⊙O的半径长．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先连接OC，由CD切⊙O于C，根据切线的性质，可得OC⊥CD，又由AD⊥CD，可得OC∥AD，又由OA=OC，易证得∠DAC=∠CAO，即AC平分∠BAD；
（2）首先过点O作OE⊥AC于E，由CD=3，AC=3，在Rt△ADC中，利用勾股定理即可求得AD的长，由垂径定理，即可得AE的长，然后易证得△AEO∽△ADC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得⊙O的半径长．
解答：（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∵CD切⊙O于C，
∴CO⊥CD．
又∵AD⊥CD，
∴AD∥CO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴AC平分∠BAD；

（2）解：过点O作OE⊥AC于E，
∵CD=3，AC=3，
在Rt△ADC中，AD==6，
∵OE⊥AC，
∴AE=AC=，
∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=90°，
∴△AEO∽△ADC，
∴，
即，
∴AO=，
即⊙O的半径为．
点评：此题考查了切线的性质、垂径定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．