Question

如图，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=

m

x

的图象的两个交点．
（1）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（2）在x轴上是否存在一点P，使得PB-PA的值最大？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点Q在双曲线上运动时，作以OA、OQ为邻边的平行四边形，求平行四边形周长最小时点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用xy=m求出反比例函数解析式，进而利用待定系数法求一次函数解析式，再求出图象与x轴交点坐标，进而得出三角形面积；
（2）作B点关于x轴对称点B′，连接AB′，直线AB′与x轴交点即为P点，此时PB-PA最大，进而利用待定系数法求一次函数解析式求出图象与x轴交点坐标即可；
（3）利用当横纵坐标的绝对值相等时OQ长度最短，平行四边形周长最小，进而求出即可．

解答：解：（1）∵A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=

m

x

的图象的两个交点，
∴m=2×（-4）=-8，
∴反比例函数y=-

8

x

，
∴-4n=-8，
解得：n=2，
将A（-4，2），B（2，-4）代入一次函数y=kx+b得：

-4k+b=2 2k+b=-4

，
解得：

k=-1 b=-2

，
∴直线AB的解析式为：y=-x-2，
当y=0时，x=-2，
∴直线AB与x轴的交点C的坐标为：C（-2，0），
∴S_△AOB=

1

2

×2×2+

1

2

×2×4=6；

（2）存在，作B点关于x轴对称点B′，连接AB′，直线AB′与x轴交点即为P点，此时PB-PA最大．
∵B（2，-4），∴B′（2，4），
将A，B′代入y=ax+k得：

2a+k=4 -4a+k=2

，
解得：

a= 1 3 b= 10 3

，
∴y=

1

3

x+

10

3

，
当y=0时，x=-10，
∴P（-10，0）；

（3）作以OA、OQ为邻边的平行四边形，当横纵坐标的绝对值相等时OQ长度最短，平行四边形周长最小，
∴x²=8，
解得：x=±2

2

，
∴Q （-2

2

，2

2

）或Q（2

2

，-2

2

）．

点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式以及三角形面积求法和利用轴对称求线段最值等知识，利用数形结合得出是解题关键．