Question

【题目】如图，在中，点为边的中点，以点为顶点的的两边分别与边，交于点，，且与互补.

（1）如图1，若，且，请直接写出：线段与的数量关系______；

（2）如图2，若，请直接写出：线段与的数量关系______；

（3）如图3，若，探索线段与的数量关系，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）结论，理由见解析

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质得出，∠B=∠DAF=45°，证出∠BED=∠AFD，证明△BED≌△AFD（AAS），即可得出结论；

（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，由等腰直角三角形的性质得出AD平分∠BAC，得出DM=DN．证出∠MDE=∠NDF，证明△DEM≌△DFN（ASA），即可得出结论；

（3）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，由（2）得∠MDE=∠NDF，证明△DEM∽△DFN．得出．证出S△ABD=S△ADC．得出，即可得出结论．

（1），理由如下：

连接.如图1所示：

∵，，为中点，

∴，，

∵，

∴，

∴，

在和中，，

∴，

∴.

故答案为：；

（2），理由如下：

过点作于，作于，连接.如图2所示：

则.

∵，点为中点，

∴平分，

∴.

∵在四边形中，，

∴.

∵，

∴，

∴，

在和中，，

∴，

∴.

故答案为：；

（3）结论，理由如下：

过点作于，作于，连接，如图3所示：

由（2）得，

∵，

∴.

∴.

∵点为的中点，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

即.