Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在CD的延长线上，且CD=2DE，连接BE交AC于点F．
（1）求证：△CEF∽△ABF．
（2）若DE=2，AF=2，求AC．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）由平行四边形的性质可以求得∠1=∠F，又由对顶角的定义得到∠2=∠3，所以根据“两角法”可以证得结论；
（2）由平行四边形的性质得到AB=CD，再结合图中相关线段间的和差关系和（1）中相似三角形的对应边成比例来求线段AC的长度．

解答：（1）证明：如图，∵在?ABCD中，AB∥CD．且点E在CD的延长线上，
∴AD∥CE，
∴∠1=∠F．
又∵∠2=∠3，
∴△CEF∽△ABF；

（2）解：如图，∵CD=2DE，DE=2，
∴CD=4，CE=6．
∴在?ABCD中，AB=CD=4．
又由（1）知：△CEF∽△ABF，
∴

FC

FA

=

CE

AB

，即

FC

2

=

6

4

，
解得FC=3，
则AC=AF+FC=2+3=5，即线段AC的长度是5．

点评：本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质．此题利用了“平行四边形的对边平行且相等”的性质．