Question

如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O₁、⊙O₂的直径分别是OA、OB，⊙O₃与⊙O、⊙O₁、⊙O₂均相切，则⊙O₃与⊙O的半径之比为________．

Answer 1

1：3
分析：根据半圆O₁和半圆O₃外切，可知圆心距p=r₁+r₂，故在Rt△O₁OO₃中，根据勾股定理可将得出两圆的半径比，又圆O的半径为圆O₁的2倍，即可得出⊙O₃与⊙O的半径之比．
解答：解：连接O₁O₃，OO₃，设⊙O₃和⊙O₁的半径分别为r₁，r₂，
∵半圆O₁和半圆O₃外切，
∴O₁O₃=r₁+r₂；
∵OO₃=2r₂-r₁，
∴在Rt△O₁OO₃中，O₁O₃²=OO₁²+OO₃²，
∴（r₁+r₂）²=（2r₂-r₁）²+r₁²，
化简得解得：r₁：r₂=3：2，
又半圆O的半径为圆O₁的2倍．
故⊙O₃与⊙O的半径之比为1：3．
故答案为1：3．
点评：本题主要考查圆与圆的位置关系和勾股定理的运用．