Question

21、（1）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A点的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD=DE+CE．




（2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明．

Answer 1

分析：根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE从而得到BD=AE，AD=CE，因为AE=AD+DE，所以BD=DE+CE；
根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE从而得到BD=AE，AD=CE，因为AD+AE=BD+CE，所以BD=DE-CE．

解答：解：（1）∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，∠ABD=∠CAE，
∵AB=AC，
在△ABD和△CAE中，
∠BDA=∠AEC，∠ABD=∠CAE，AB=AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE；

（2）BD=DE-CE；
∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵AB=AC，
在△ABD和△CAE中，
∠BDA=∠AEC，∠BAD=∠CAE，AB=AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∴AD+AE=BD+CE，
∵DE=BD+CE，
∴BD=DE-CE．

点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS，SAS，AAS等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握．