题目内容
（2013•柳州）有下列4个命题：
①方程x2-（
+
）x+
=0的根是
和
．
②在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．若AD=4，BD=
，则CD=3．
③点P（x，y）的坐标x，y满足x2+y2+2x-2y+2=0，若点P也在y=
的图象上，则k=-1．
④若实数b、c满足1+b+c＞0，1-b+c＜0，则关于x的方程x2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根，且较大的实数根x0满足-1＜x0＜1．
上述4个命题中，真命题的序号是
①方程x2-（
| 2 |
| 3 |
| 6 |
| 2 |
| 3 |
②在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．若AD=4，BD=
| 9 |
| 4 |
③点P（x，y）的坐标x，y满足x2+y2+2x-2y+2=0，若点P也在y=
| k |
| x |
④若实数b、c满足1+b+c＞0，1-b+c＜0，则关于x的方程x2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根，且较大的实数根x0满足-1＜x0＜1．
上述4个命题中，真命题的序号是
①②③④
①②③④
．分析：①利用因式分解法解一元二次方程即可；
②利用射影定理直接求出即可；
③利用配方法得出x，y的值，进而得出xy=k的值，即可得出答案；
④根据1+b+c＞0，1-b+c＜0，即x=1，x=-1时得出y的取值范围，画出图象即可得出较大的实数根的取值范围．
②利用射影定理直接求出即可；
③利用配方法得出x，y的值，进而得出xy=k的值，即可得出答案；
④根据1+b+c＞0，1-b+c＜0，即x=1，x=-1时得出y的取值范围，画出图象即可得出较大的实数根的取值范围．
解答：
解：①方程x2-（
+
）x+
=0的根是
和
，此命题正确；
②在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．若AD=4，BD=
，则CD=3．
由题意得出：CD 2=AD×BD，故此命题正确；
③∵点P（x，y）的坐标x，y满足x2+y2+2x-2y+2=0，
∴（x+1）2+（y-1）2=0，
解得：x=-1，y=1，
∴xy=-1，
故点P也在y=
的图象上，则k=-1此命题正确；
④∵实数b、c满足1+b+c＞0，1-b+c＜0，
∴y=x2+bx+c的图象如图所示，
∴关于x的方程x2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根，且较大的实数根x0满足-1＜x0＜1，故此选项正确．
故答案为：①②③④．
解：①方程x2-（| 2 |
| 3 |
| 6 |
| 2 |
| 3 |
②在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．若AD=4，BD=
| 9 |
| 4 |
由题意得出：CD 2=AD×BD，故此命题正确；
③∵点P（x，y）的坐标x，y满足x2+y2+2x-2y+2=0，
∴（x+1）2+（y-1）2=0，
解得：x=-1，y=1，
∴xy=-1，
故点P也在y=
| k |
| x |
④∵实数b、c满足1+b+c＞0，1-b+c＜0，
∴y=x2+bx+c的图象如图所示，
∴关于x的方程x2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根，且较大的实数根x0满足-1＜x0＜1，故此选项正确．
故答案为：①②③④．
点评：此题主要考查了射影定理即二次函数图象与一元二次方程以及一元二次方程的解法和反比例函数的性质等知识，利用数形结合得出是解题关键．
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