Question

在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=4

3

cm，连接AC，△ABC恰好为等边三角形，△ACD恰好为直角三角形．求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：首先对图形进行分析，当∠ADC=90°和当ACD=90°，所画图形不同，再利用勾股定理可以求出三角形ABC的面积，再利用解直角三角形的知识求出AD，CD，从而得出三角形面积，从而得出答案．

解答：解：①作AE⊥BC于点E，
当∠ADC=90°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC=4

3

，
∴EC=2

3

，
∴AE=

AC2-EC2

=6，
∠BAC=60°，
∵∠BAD=90，
∴∠CAD=90°-60°=30°，
在Rt△ACD中，
CD=

1

2

AC=2

3

，AD=

AC 2-CD2

=6，
S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=

1

2

×BC×AE+

1

2

CD×AD，
=

1

2

×4

3

×6+

1

2

×2

3

×6，
=12

3

+6

3

，
=18

3

；

②当∠ACD=90°，
∵AC=4

3

，∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴tan30°=

CD

AC

，
解得：CD=4，
S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=

1

2

×BC×AE+

1

2

CD×AC，
=

1

2

×4

3

×6+

1

2

×4

3

×4，
=12

3

+8

3

，
=20

3

．

点评：此题主要考查了勾股定理与解直角三角形的应用，根据已知进行分类讨论得出两种情况，这种思想经常运用与数学运算与证明，同学们应熟练掌握此知识．