Question

如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC，已知AE=2

2

，AC=3

2

，BC=6，则⊙O的半径是

 

．

Answer 1

分析：延长AC交⊙O于F，连接FD．证明DF为直径，FD⊥AD．利用△ADE∽△ABC求DE；利用△ADE∽△DFE求EF；利用勾股定理求DF．得解．

解答：解：延长AC交⊙O于F，连接FD．
∵∠C=90°，DE∥BC，
∴∠DEF=90°，∴FD是圆的直径．
∵AB切⊙O于D，∴FD⊥AB．
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．
∴

AE

AC

=

DE

BC

，即

2 2

3 2

=

DE

6

，
∴DE=4．
∵∠ADF=90°，DE⊥AF，
∴△ADE∽△DFE，
∴DE2=AE•EF，即42=2

2

•EF，
∴EF=4

2

．
∴DF=

42+(4 2 )2

=4

3

，
∴半径为2

3

．

点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识点，作辅助线把半径转化到直角三角形中是关键．