Question

如图所示中分别给出了锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．

(1)请动手作出到三个顶点A、B、C距离相等的点P，并指出P与△ABC的位置关系；

(2)求证：如图所示(2)中的点P是斜边BC的中点．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)学生画图：点P分别在锐角△ABC内部；在Rt△ABC的边BC上；在钝角△ABC的外部． 　　(2)证明：如图(2)，作AB的垂直平分线交斜边BC于P，连接PA，则有PB＝PA(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)． 　　∴∠B＝∠PAB(等边对等角)． 　　又∵∠B＋∠C＝．(直角三角形两锐角互余)． 　　∠PAB＋∠PAC＝ 　　∴∠PAC＝∠C(等量代换) 　　∴PA＝PC(等角对等边) 　　∴P在AC的垂直平分线上(垂直平分线的判定) 　　∴P是三边垂直平分线的交点． 　　且PA＝PB＝PC，∴P是斜边BC的中点．

提示：

思维(1)作三边垂直平分线，其交点就是求作的点P． 　　(2)证P是BC的中点的思路是，作AB的垂直平分线交斜边于P；只要证明P在AC的垂直平分线上，则有PB＝PA＝PC，即P是BC中点． 　　特别提示：由于PA＝PB＝PC，所以得出结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．