已知Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4,点O是AB中点.点P.Q分别从点A.C出发.沿AC.CB以每秒1个单位的速度运动.到达点C.B后停止.连结PQ.点D是PQ中点.连结CD并延长交AB于点E. (1)试说明:△POQ是等腰直角三角形, (2)设点P.Q运动的时间为t秒.试用含t的代数式来表示△CPQ的面积S.并求出 S的最大值, (3)如图2.点P在运动过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4,点O是AB中点，点P、Q分别从点A、C出发，沿AC、CB以每秒1个单位的速度运动，到达点C、B后停止。连结PQ、点D是PQ中点，连结CD并延长交AB于点E.

（1）试说明：△POQ是等腰直角三角形；

（2）设点P、Q运动的时间为t秒，试用含t的代数式来表示△CPQ的面积S，并求出

S的最大值；

（3）如图2，点P在运动过程中，连结EP、EQ，问四边形PEQC是什么四边形，并说明理由；

（4）求点D运动的路径长（直接写出结果）.

【答案】

角度转换；2；矩形；

【解析】

试题分析：(1)、证明：连接CO，则：CO⊥AB ∠BCO=∠A="45°" CO=AO=1/2AB

在△AOP和△COQ中

AP="CQ" ，∠A=∠BCO，AO="CO"

∴△AOP≌△COQ (SAS)

∴OP="OQ" ∴∠AOP=∠COQ　

∴∠POQ=∠COQ+∠COP =∠AOP+∠COP=∠AOC =90°　

∴△ POQ是等腰直角三角形（3分）

(2)、S=CQ×CP =t(4-t) =t²+2t = (t-2)²+2

当t=2时，S取得最大值，最大值S="2" （3分）

(3)、四边形PEQC是矩形

证明：连接OD

∵点D是PQ中点

∴CD=PD=DQ=PQ

OD=PD=DQ=PQ

∴CD="OD"

∴∠DCO=∠DOC

∵∠CEO+∠DCO=90°

∠DOE+∠DOC=90°

∴∠CEO=∠DOE

∴DE=DO

∴DE=CD

∵PD=DQ

∴四边形PEQC是平行四边形

又∠ACB=90° ∴四边形PEQC是矩形（3分）

(4)、由DO=DC可知：点D在线段OC的垂直平分线上，其运动路径为CO垂直平分线与AC、BC交点间线段

点D运动的路径长=AB=（3分）

考点：全等三角形的性质和判定

点评：解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

练习册系列答案

11、已知Rt△ABC中，c=25，a：b=3：4，则a=

，b=

．

已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．则其内心和外心之间的距离是（　　）

已知Rt△ABC的两条直角边的长度分别为5cm，12cm，则其斜边上的中线长为

6.5

cm．

如图，每个小方格都是边长为1个单位的正方形．Rt△ABC 的顶点在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（-1，0）．已知Rt△ABC和Rt△A₁B₁C₁关于y轴对称，Rt△A₁B₁C₁和Rt△A₂B₂C₂关于直线y=-2轴对称．
（1）试画出Rt△A₁B₁C₁和Rt△A₂B₂C₂，并写出A₁，B₁，C₁，A₂，B₂，C₂的坐标；
（2）请判断Rt△A₁B₁C₁和Rt△A₂B₂C₂是否关于某点M中心对称？若是，请写出M点的坐标；若不是，请说明理由．

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