Question

7．（1）如图所示，已知∠AOB=90°，按以下要求画图：以O为顶点，OB为一边作∠BOC=30°，再作射线OM平分∠AOC、ON平分∠BOC．
（2）求你所画出的图中的∠MON的度数；
（3）若（1）中的∠AOB=α，∠BOC=β，直接写出∠MON的度数（用关于α和β的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）根据题意画图即可；
（2）根据角平分线的以求出∠MOC与∠NOC的度数，然后相加减即可求出∠MON的度数；
（3）根据两题的求解思路把具体数据换为α、β，然后整理即可得出规律．

解答 解：（1）当OC在∠AOB内部时如图1，当OC在∠AOB外部时如图2；

（2）①∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，
∴∠COM=$\frac{1}{2}$AOC，∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠MON=∠COM+∠CON=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°，

②∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×30°=15°，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=60°-15°=45°；

（3）①∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=α-β，
∵OM、ON分别平分∠AOC，∠BOC，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（α-β），
∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$β，
∴∠MON=∠MOC+∠CON=$\frac{1}{2}$（α-β）+$\frac{1}{2}$β=$\frac{1}{2}$α，
即∠MON=$\frac{1}{2}$α；
②∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=α+β，
∵OM、ON分别平分∠AOC，∠BOC，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（α+β），
∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$β，
∴∠MON=∠MOC-∠CON=$\frac{1}{2}$（α+β）-$\frac{1}{2}$β=$\frac{1}{2}$α，
即∠MON=$\frac{1}{2}$α．

点评 本题考查了角的计算，角平分线的定义，读懂题意，看懂题目图形找准解题思路是解题的关键，此类题目通常都是各小题都用同一个解题思路，所以准确确定思路比较关键．