Question

如图，在平面直角坐标系中，圆D与y轴相切于点C（0，4），与x轴相交于A、B两点，且AB=6．
（1）则D点的坐标是 （______，______），圆的半径为______；
（2）sin∠ACB=______；经过C、A、B三点的抛物线的解析式______；
（3）设抛物线的顶点为F，证明直线FA与圆D相切；
（4）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点N，使△CBN面积最大，最大值是多少，并求出N点坐标．

Answer 1

（1）解：连接DC，则DC⊥y轴，

过点D作DE⊥AB于点E，则DE垂直平分AB，
∵AB=6，
∴AE=3，
在Rt△ADE中，AD===5，
故可得点D的坐标为（5，4），圆的半径为5；

（2）解：在Rt△AOC中，AC===2，
在Rt△BOC中，BC===5，
∵S_△ABC=AC×BCsin∠ACB=AB×CO，
∴sin∠ACB==；
设经过点A、B、C三点的抛物线解析式为：y=ax²+bx+c，
将三点坐标代入可得：，
解得：，
故经过C、A、B三点的抛物线的解析式为：y=x²-x+4．

（3）证明：因为D为圆心，A在圆周上，DA=r=5，故只需证明∠DAF=90°，
抛物线顶点坐标：F（5，-），DF=4+=，AF==，
∵DA²+AF²=5²+（）²==（）²=DF²，
∴∠DAF=90°
所以AF切于圆D．

（4）解：存在点N，使△CBN面积最小．
根据点B及点C的坐标可得：直线BC的解析式为：y=-x+4，
设N点坐标（a，），过点N作NP与y轴平行，交BC于点P，

可得P点坐标为（a，），
则NP=-（）=
故S_△BCN=S_△BPN+S_△PCN=×PN×OH+×PN×BH=PN×BO=×8×（）=16-（a-4）²
当a=4时，S_△BCN最大，最大值为16，此时，N（4，-2）．
分析：（1）连接DC，则DC⊥y轴，过点D作DE⊥AB于点E，则根据垂径定理可得AE=BE=3，连接DA，在Rt△ADE中可求出DA，即圆的半径，也可得出点D的坐标；
（2）根据S_△ABC=AC×BCsin∠ACB=AB×CO，可得出sin∠ACB，利用待定系数法可求出经过C、A、B三点的抛物线的解析式．
（3）因为D为圆心，A在圆周上，DA=r=5，故只需证明∠DAF=90°，利用勾股定理的逆定理证明∠DAF=90°即可．
（4）设存在点N，过点N作NP与y轴平行，交BC于点P，求出直线BC的解析式，设点N坐标（a，），则可得点P的坐标为（a，-a+4），从而根据S_△BCN=S_△BPN+S_△PCN，表示出△BCN的面积，利用配方法可确定最大值，继而可得出点N的坐标．
点评：本题考查了二次函数及圆的综合，涉及了垂径定理、抛物线求二次函数解析式、切线的判定与性质，综合考察的知识点较多，同学们注意培养自己解答综合题的能力，关键还是基础知识的掌握，要能将所学知识融会贯通，第四问解法不止一种，同学们可以积极探索其他解法．