题目内容

设s=
1+
1
12
+
1
22
+
1+
1
22
+
1
32
+
1+
1
32
+
1
42
+…+
1+
1
20072
+
1
20082
+
1+
1
20082
+
1
20092

则与s最接近的整数是（　　）
A、2009B、2006
C、2007D、2008
分析：通过上式找出规律，得出通项公式
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
再进行化简，得结果为1+
1
n(n+1)
，将自然数n代入求出结果，再判断与a最接近的整数．
解答：解：∵n为任意的正整数，
∴
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=
n2(n+1)2+n2+(n+1)2
[n(n+1)]2

=
[n(n+1)]2+2n(n+1)+1
[n(n+1)]2
=
(n2+n+1)2
[n(n+1)]2
=
n2+n+1
n(n+1)
=1+
1
n(n+1)
，
∴s=（1+
1
1×2
）+（1+
1
2×3
）+（1+
1
3×4
）+…+（1+
1
2008×2009
）
=2008+（
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2008×2009

=2008+（1-
1
2
）+（
1
2
-
1
3
）+（
1
3
-
1
4
）+…+（
1
2008
-
1
2009
）
=2009-
1
2009
．
因此与s最接近的整数是2009．
故选A．
点评：用裂项法将分数
1
n(n+1)
化成
1
n
-
1
n+1
，寻找抵消规律求和．
练习册系列答案
相关题目
设a=
1+
1
12
+
1
22
+
1+
1
22
+
1
32
+
1+
1
32
+
1
42
+…+
1+
1
20002
+
1
20012
，问与a最接近的整数是多少？
设S=
1+
1
12
+
1
22
+
1+
1
22
+
1
32
+
1+
1
32
+
1
42
+…+
1+
1
20082
+
1
20092
，则与S最接近的数是（　　）
A、2008B、2009
C、2010D、2011
设S=
1+
1
12
+
1
22
+
1+
1
22
+
1
32
+…+
1+
1
19992
+
1
20002
，求不超过S的最大整数[S]．
（2011•武汉模拟）设S1=1+
1
12
+
1
22
，S2=1+
1
22
+
1
32
，S3=1+
1
32
+
1
42
…，Sn=1+
1
n2
+
1
(n+1)2
，设S=
S1
+
S2
+…+
Sn
，其中n为正整数，则用含n的代数式表示S为（　　）
设S1=1+
1
12
+
1
22
，S2=1+
1
22
+
1
32
，S3=1+
1
32
+
1
42
，…，Sn=1+
1
n2
+
1
(n+1)2
．若S=
S1
+
S2
+…+
Sn
，求S（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．

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