题目内容
已知A1、A2、A3是抛物线
上的三点，它们相应的横坐标为连续偶数（n-2）、n、（n+2）（其中n＞2），直线A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴于点B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1B3于点C．（1）当n=4时，如图1，求线段CA2的长；
（2）如图2，若将抛物线
改为抛物线y=x2+c（其中c是常数，且c＞0）．其他条件不变，求线段CA2的长；（3）若将抛物线
改为抛物线y=ax2+c（其中a、c是常数，且a＞0）．其他条件不变，求线段CA2的长，并直接写出结果（结果用a、c表示）
【答案】分析：（1）根据条件可以求出A1、A2、A3的坐标，从而可以求出A1B1、A2B2、A3B3的值，再A1、A3的坐标求出直线A1A3的解析式，就可以求出C的坐标，可以确定B2C的值，从而可以求出CA2的值．
（2）由A1、A2、A3三点的横坐标可以求出A1、A2、A3三点的坐标，可以求出直线A1A3的解析式，就可以求出C的坐标，可以确定B2C的值，从而可以求出CA2的值．
（3）由（2）同样的方法求出求出A1、A2、A3三点的坐标，求出直线A1A3的解析式，再求出C的坐标，可以确定B2C的值，从而可以求出CA2的值．
解答：解：（1）∵A1、A2、A3相应的横坐标为连续偶数（n-2）、n、（n+2）（其中n＞2），且n=4，
∴A1、A2、A3三点的横坐标依次为：2、4、6，
∴代入抛物线
可求得A1（2，1）、A2（4，4）、A3（6，9）．
∴A2B2=4
设直线A1A3的解析式为：y=kx+b，
∴
，解得：
，
∴线A1A3的解析式为y=2x-3，当x=4时，y=5，
∴C（4，5）
∴CB2=5，
∴CA2=1．
（2）∵A1、A2、A3相应的横坐标为连续偶数（n-2）、n、（n+2）（其中n＞2），
∴代入抛物线y=x2+c，可求得A1（n-2，n2-4n+4+c）、A2（n，n2+c）、A3（n+2，n2+4n+4+c）．
∴A2B2=n2+c．
设直线A1A3的解析式为：y=kx+b，
∴
，解得：
，
∴线A1A3的解析式为y=2nx-n2+4+c，当x=n时，y=n2+4+c，
∴C（n，n2+4+c），
∴CB2=n2+4+c，
∴CA2=4．
（3）由题意，得
CA2=4a（a＞0）．
点评：本题一道二次函数的综合试题，考查了运用待定系数法求一次函数的解析式和求二次函数的解析式及线段的差．
（2）由A1、A2、A3三点的横坐标可以求出A1、A2、A3三点的坐标，可以求出直线A1A3的解析式，就可以求出C的坐标，可以确定B2C的值，从而可以求出CA2的值．
（3）由（2）同样的方法求出求出A1、A2、A3三点的坐标，求出直线A1A3的解析式，再求出C的坐标，可以确定B2C的值，从而可以求出CA2的值．
解答：解：（1）∵A1、A2、A3相应的横坐标为连续偶数（n-2）、n、（n+2）（其中n＞2），且n=4，
∴A1、A2、A3三点的横坐标依次为：2、4、6，
∴代入抛物线
可求得A1（2，1）、A2（4，4）、A3（6，9）．∴A2B2=4
设直线A1A3的解析式为：y=kx+b，
∴
，解得：，∴线A1A3的解析式为y=2x-3，当x=4时，y=5，
∴C（4，5）
∴CB2=5，
∴CA2=1．
（2）∵A1、A2、A3相应的横坐标为连续偶数（n-2）、n、（n+2）（其中n＞2），
∴代入抛物线y=x2+c，可求得A1（n-2，n2-4n+4+c）、A2（n，n2+c）、A3（n+2，n2+4n+4+c）．
∴A2B2=n2+c．
设直线A1A3的解析式为：y=kx+b，
∴
，解得：，∴线A1A3的解析式为y=2nx-n2+4+c，当x=n时，y=n2+4+c，
∴C（n，n2+4+c），
∴CB2=n2+4+c，
∴CA2=4．
（3）由题意，得
CA2=4a（a＞0）．
点评：本题一道二次函数的综合试题，考查了运用待定系数法求一次函数的解析式和求二次函数的解析式及线段的差．
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