Question

【题目】二次函数y= （x﹣5）（x+m）（m是常数，m＞0）的图象与x轴交于点A和点B（点A在点B的右侧）与y轴交于点C，连接AC．
（1）用含m的代数式表示点B和点C的坐标；
（2）垂直于x轴的直线l在点A与点B之间平行移动，且与抛物线和直线AC分别交于点M、N，设点M的横坐标为t，线段MN的长为p．
①当t=2时，求p的值；
②若m≤1，则当t为何值时，p取得最大值，并求出这个最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：令y=0，得 （x﹣5）（x+m）=0，

解得x1=5，x2=﹣m，

∵m＞0，

∴﹣m＜0，

∵点A在点B的右侧，

∴A（5，0），B（﹣m，0），

令x=0，得y=﹣ m，

∴C（0，﹣ m）

（2）解：①设AC的函数关系式为y=kx﹣ m，

把A（5，0）代入y=kx﹣ m，解得k= m，

∴y= mx﹣ m，

∵t=2，

∴点M的纵坐标为yM= （2﹣5）（2+m）=﹣ （2+m），

点N的纵坐标为yN= m×2﹣ m=﹣ m，

∴p=yN﹣yM=﹣ m+ （2+m）=3；

②∵点M的横坐标为t，

∴点M的纵坐标为yM= （t﹣5）（t+m）= t2+ （m﹣5）t﹣ m，

点N的纵坐标为yN= mt﹣ m，

当0≤t≤5时，p=yN﹣yM=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣ ）2+ ，

当t= 时，p取得最大值 ，

当﹣m≤t＜0时，p=yM﹣yN= t2﹣ t= （t﹣ ）2﹣ ，

此二次函数图象开口向上，对称轴为直线t= ，

∴在﹣m≤t＜0时，p随t的增大而减少，

∴当t=﹣m时，p取得最大值为 m2+ m，

设w= m2+ m，

m=﹣ m为对称轴，

∴0＜m≤1时，w的值随m的增大而增大，

∴m=1时，w最大值为3，

∵3＜ m，

∴当t= 时，p取得最大值为 ．

【解析】（1）纵坐标为0，横坐标为0，将其直接代入二次函数y= （x﹣5）（x+m）即可求得坐标．（2）①求p的值，通常利用表达式表示p，此时p恰为不含字母的式子．因为t=2，此时p=yN﹣yM，这里yM为点M的纵坐标，yN为点N的纵坐标；

②求最值也要首先表示p，不过发现因为C为抛物线与直线的交点，在﹣m≤t≤0，p=yM﹣yN，当0≤t≤5时，p=yN﹣yM．如此要分开讨论最值，然后再综合在一起，讨论时不要遗漏题目中关于m的限制：0＜m≤1．

【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质，需要了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．