Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、D（-，0），作直线AD并以线段AD为一边向上作正方形ABCD．

（1）填空：点B的坐标为________，点C的坐标为_________．

（2）若正方形以每秒2个单位长度的速度沿射线DA向上平移，直至正方形的顶点C落在y轴上时停止运动．在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为S，求S关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）B的坐标是（-1，1+），C的坐标是（-1-，）；（2）S=2t2，（0≤t≤）；S=2-4x（＜t≤2）；S=4-（3-2x）2，（2＜x≤2+）．

【解析】

试题分析：（1）BM⊥y轴于点M，作CN⊥x轴于点N，证明△ABM≌△DAO，△CDN≌△DAO即可求得；

（2）首先证明∠ADO=30°，则∠DAO=60°，然后分只有点A在y轴右侧时，当B和D分别位于y轴的左右两边时，点C和点D分别位于y轴的两侧时三种情况进行讨论，利用三角函数即可求解．

试题解析：（1）作BM⊥y轴于点M，作CN⊥x轴于点N．

∵正方形ABCD中，∠BAD=90°，

∴∠BAM+∠DAO=90°，

又∵直角△ABM中，∠BAM+∠MBA=90°，

∴∠MBA=∠DAO，

在△ABM和△DAO中，

，

∴△ABM≌△DAO，

∴BM=AO=1，AM=OD=，

则B的坐标是（-1，1+），

同理，△CDN≌△DAO，

DN=AO=1，CN=OD=，

则C的坐标是（-1-，）；

（2）∵OA=1，OD=，

∴tan∠ADO=，

∴∠ADO=30°，∠DAO=60°，

当只有点A在y轴右侧时，如图2，作AG⊥y轴于点G．

在直角△AEF中，AE=2t，∠AEF=30°，sin∠AEG=，即AG=AE sin∠AEG=2x =x，当AG=1时，AE=，

则AF=AE tan∠FEA=AE=2t，

则S=AE AF=×2t×2t=2t2，（0≤t≤）；

当B和D分别位于y轴的左右两边时，如图3，作AG⊥y轴于点G，作BH∥y轴，交AD于点H．

在直角△ABH中，∠ABH=30°，则AH=，

则S=S△ABH+S平行四边形BHEF=AB AH+BH （AG-1）=×2×-（x-1），

即S=2-4x（＜t≤2）；

当点C和点D分别位于y轴的两侧时，如图4．

ED=2x-2，

在直角△EDG中，EG==4x-4，则FG=2-（4x-4）=6-4x，

在直角△CFG中，CF=FG sin∠AGF=（6-4x）=3-2x，

CG=CF=（3-2x），

则S△CFG=CF CG=（3-2x）2，

则S=4-S△CFG=4-（3-2x）2，（2＜x≤2+）．