Question

【题目】解决问题：

如图，半径为4的外有一点P，且，点A在上，则PA的最大值和最小值分别是______和______．

如图，扇形AOB的半径为4，，P为弧AB上一点，分别在OA边找点E，在OB边上找一点F，使得周长的最小，请在图中确定点E、F的位置并直接写出周长的最小值；

拓展应用

如图，正方形ABCD的边长为；E是CD上一点不与D、C重合，于F，P在BE上，且，M、N分别是AB、AC上动点，求周长的最小值．

Answer 1

【答案】（1）11，3；（2）图见解析，周长最小值为；（3）．

【解析】

根据圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最远是和最近的点是过圆心和该点的直线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分别为11和3；

作点P关于直线OA的对称点，作点P关于直线OB的对称点，连接、，与OA、OB分别交于点E、F，点E、F即为所求，此时周长最小，然后根据等腰直角三角形求解即可；

类似题作对称点，周长最小，然后由三角形相似和勾股定理求解．

解：如图，圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在过圆心的直线OP上，

此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离．

的最大值，

PA的最小值，

故答案为11和3；

如图，以O为圆心，OA为半径，画弧AB和弧BD，作点P关于直线OA的对称点，作点P关于直线OB的对称点，连接、，与OA、OB分别交于点E、F，点E、F即为所求．

连接、、OP、PE、PF，

由对称知识可知，，，，

∴，

，

为等腰直角三角形，

，

周长，此时周长最小．

故答案为；

作点P关于直线AB的对称，连接、，作点P关于直线AC的对称，

连接、，与AB、AC分别交于点M、N．如图③

由对称知识可知，，，周长，

此时，周长最小．

由对称性可知，，，，

∴

，

为等腰直角三角形，

周长最小值，当AP最短时，周长最小．

连接DF．

，且，

，

，

，，

又，

在与中，，

∽，

，

∴

，取AB中点O．

点F在以BC为直径的圆上运动，当D、F、O三点在同一直线上时，DF最短．

，

最小值为

此时，周长最小值．