题目内容

（2011•裕华区一模）如图1，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=AB=6cm，BC=8cm，点E从点A出发沿AD方向以1cm/s的速度向终点D运动；点F从点C出发沿CA方向以2cm/s的速度向终点A运动，当点E、点F中有一点运动到终点，另一点也随之停止．设运动时间为ts．

（1）当t为何值时，△AEF和△ACD相似？
（2）如图2，连接BF，随着点E、F的运动，四边形ABFE可能是直角梯形？若可能，请求出t的值及四边形ABFE的面积；若不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△AFE的面积最大？最大值是多少？
分析：（1）E、F在移动的过程中，△AEF和△ACD相似有两种情况，△AEF∽△ACD和△AEF∽△ADC，根据相似三角形的性质就可以求出t的值．
（2）E、F移动t秒后ABFE是直角梯形，则FE⊥AD，延长EF交BC于点G，同样利用三角形相似把FG表示出来，从而求出EF，根据勾股定理建立等量关系求出t值，就可以求出梯形的面积．
（3）过点F作MN⊥AD于M，交BC于点N，可以证明△CFN∽△CAB，表示出FN，从而表示出FM，利用三角形的面积公式及uky表示出三角形的面积S与t的函数关系式，从而求其解．
解答：解：（1）当运动t秒时，△AEF∽△ADC时，
∴
AE
AD
=
AF
AC
，AE=t，CF=2t，
∴AF=AC-2t
∵∠A=∠B=90°，AD=AB=6cm，BC=8cm，由勾股定理，得
AC=10cm，
∴AF=10-2t
∴
t
6
=
10-2t
10
，解得
t=
30
11

当运动t秒时，△AEF∽△ACD时，
AE
AC
=
AF
AD

∴
t
10
=
10-2t
6
解得：
t=
50
13


（2）设t秒后四边形AEFB是直角梯形，延长EF交BC于点G，

∴EG⊥AD，EG⊥BC
∵∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∴EG∥AB，且AD∥BC
∴△CGF∽△CBA，四边形AEGB为矩形
∴
FG
AB
=
CF
AC
，EG=AB=6
∴
FG
6
=
2t
10
，
∴FG=
6
5
t
∴EF=6-
6
5
t，
在Rt△AEF中，由勾股定理，得
t2+（6-
6
5
t）2=（10-2t）2，解得
t1=
40
13
，t2=
40
3
（不符合题意应舍去）
∴EF=
30
13
，AE=
40
13

∴S四边形ABFE=
(
30
13
+6)•
40
13
2

=
2160
169
cm2

（3）过点F作MN⊥AD于M，交BC于点N
∴∠DEG=90°．
∵AD∥BC，
∴∠BGE=∠DEG=90°．
∵∠B=90°，
∴EG∥AB，
∴△CFN∽△CAB，
∴
FN
6
=
2t
10

∴FN=
6
5
t，
∴MF=6-
6
5
t，
∴S△AFE=
t(6-
6
5
t)
2

=-
3
5
（t-
5
2
）2+
15
4
．
∴当t=
5
2
时，S△AFE最大，最大值是
15
4
．
点评：本题是一道有关直角梯形的结合解答题，考查了二次函数的最值，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用．
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．
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CE=BF
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；
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如图③，在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，M、N是AB边上的点，∠MCN=45°，作DA⊥AB于点A，截取DA=NB，并连接DC、DM．
我们来证明线段CD与线段CN相等．
∵∠CAB=∠CBA=45°，又DA⊥AB于点A，
∴∠DAC=45°，∴∠DAC=∠CBA，
又∵DA=NB，BC=AC，
∴△CAD≌△CBN．
∴CD=CN．

请你继续解答：
①线段MD与线段MN相等吗？为什么？
②线段AM、MN、NB有怎样的数量关系，为什么？
（3）拓广与运用：
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A．平均数
B．中位数
C．方差
D．众数

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