Question

如图，已知在△ABC中，AB=4，BC=2，以点B为圆心，线段BC长为半径的弧交边AC于点D，且∠DBC=∠BAC，P是边BC延长线上一点，过点P作PQ⊥BP，交线段BD的延长线于点Q．设CP=x，DQ=y．

（1）求CD的长；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）当∠DAQ=2∠BAC时，求CP的值．

Answer 1

解：（1）∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，∴△BDC∽△ABC．

∴．

∵，，∴．

（2）∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC．

∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，∴∠ABC=∠BDC．

∴∠ABC=∠ACB．

∴AC=AB=4．作AH⊥BC，垂足为点H．

∴BH=CH=1．

作DE⊥BC，垂足为点E，可得DE∥AH．

∴，即．

∴，．

又∵DE∥PQ，∴，即．

整理，得．

定义域为x>0．

（3）∵∠DBC+∠DCB=∠DAQ+∠DQA，∠DCB=∠ABD+∠DBC，

∴2∠DBC+∠ABD=∠DAQ+∠DQA．

∵∠DAQ=2∠BAC，∠BAC=∠DBC，∴∠ABD=∠DQA．

∴AQ=AB=4．

作AF⊥BQ，垂足为点F，可得，．

∴．

解得．

∴．

解得，即．