Question

【题目】如图，抛物线y＝x2+x﹣4与x轴交于A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线上的点E的横坐标为3，过点E作直线l1∥x轴．

（1）点P为抛物线上的动点，且在直线AC的下方，点M，N分别为x轴，直线l1上的动点，且MN⊥x轴，当△APC面积最大时，求PM+MN+EN的最小值；

（2）过（1）中的点P作PD⊥AC，垂足为F，且直线PD与y轴交于点D，把△DFC绕顶点F旋转45°，得到△D'FC'，再把△D'FC'沿直线PD平移至△D″F′C″，在平面上是否存在点K，使得以O，C″，D″，K为顶点的四边形为菱形？若存在直接写出点K的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，点K的坐标为（，﹣）或（2+，﹣2﹣）．

【解析】

（1）过点P作PG⊥x轴于点G，交AC于点H，在PG上截取PP'＝MN，连接P'N，以NE为斜边在直线NE上方作等腰Rt△NEQ，过点P'作P'R⊥EQ于点R，先利用二次函数的解析式求出A，B，C，E的坐标，然后用待定系数法求出直线AC的解析式，利用E点坐标得出PP'＝MN＝，然后设出点P（t，t2+t﹣4）H（t，﹣t﹣4），用含t的代数式表示出△APC的面积，利用二次函数的性质求出△APC的面积最大时对应的点P,的坐标，然后利用平行四边形和等腰直角三角形的性质得出PM+MN+EN＝PP'+P'N+ NQ＝+P'N+NQ，所以当点P'、N、Q在同一直线上时，P'N+NQ＝P'R最小，即PM+MN+ EN＝+P'R，分别用待定系数法求出直线 的表达式，联立求出点R的坐标，最后利用勾股定理求出的长度，则答案可求；

（2）先求出D,F点的坐标，得出△CDF是等腰直角三角形，然后分两种情况讨论：把△DFC绕顶点F逆时针旋转45°，得到，经过分析发现以O，，K为顶点的四边形为菱形， 不可能为边，只能以为邻边构成菱形，然后利用菱形的性质即可求解；把△DFC绕顶点F顺时针旋转45°，得到△D'FC'，以O，，K为顶点的四边形为菱形，只能为对角线，从而求出K的坐标即可．

（1）如图1，过点P作PG⊥x轴于点G，交AC于点H，在PG上截取PP'＝MN，连接P'N，

以NE为斜边在直线NE上方作等腰Rt△NEQ，过点P'作P'R⊥EQ于点R

∵x＝0时，y＝x2+x﹣4＝﹣4

∴C（0，﹣4）

∵y＝0时，x2+x﹣4＝0

解得：x1＝﹣4，x2＝2

∴A（﹣4，0），B（2，0）

设直线AC的解析式为

将代入解析式中得

解得

∴直线AC解析式为

∵抛物线上的点E的横坐标为3

∴yE＝×32+3﹣4＝

∴E（3，），直线l1：y＝

∵点M在x轴上，点N在直线l1上，MN⊥x轴

∴PP'＝MN＝

设抛物线上的点P（t，t2+t﹣4）（﹣4＜t＜0）

∴H（t，﹣t﹣4）

∴PH＝﹣t﹣4﹣（t2+t﹣4）＝﹣t2﹣2t

∴S△APC＝S△APH+S△CPH＝PHAG+PHOG＝PHOA＝2PH＝﹣t2﹣4t

∴当t＝﹣＝﹣2时，S△APC最大

∴yP＝t2+t﹣4＝2﹣2﹣4＝﹣4，yP'＝yP+

∴P（﹣2，﹣4），P'（﹣2，）

∵PP'＝MN，PP'∥MN

∴四边形PMNP'是平行四边形

∴PM＝P'N

∵等腰Rt△NEQ中，NE为斜边

∴∠NEQ＝∠ENQ＝45°，NQ⊥EQ

∴NQ＝EN

∴PM+MN+EN＝PP'+P'N+ NQ＝+P'N+NQ

∵当点P'、N、Q在同一直线上时，P'N+NQ＝P'R最小

∴PM+MN+EN＝+P'R

设直线EQ解析式为y＝﹣x+a

∵E（3， ）

∴﹣3+a＝

解得：a＝

∴直线EQ：y＝﹣x+

设直线P'R解析式为y＝x+b

∵P'（﹣2，）

∴﹣2+b＝﹣

解得：b＝

∴直线P'R：y＝x+

∵ 解得：

∴R（，4）

∴P'R＝

∴PM+MN+EN最小值为

（2）∵PD⊥AC，P（﹣2，﹣4），

∴直线PD解析式为：y＝x﹣2，

∴D（0，﹣2），F（﹣1，﹣3），

∴CD＝2，DF＝CF＝，△CDF是等腰直角三角形，

如图2，把△DFC绕顶点F逆时针旋转45°，得到，

∴（，﹣3），（﹣1，﹣3）

把 沿直线PD平移至，连接

设直线 的解析式为

将代入解析式中得

解得

∴直线 解析式为y＝x﹣2﹣ ，

同理：直线解析式为y＝x+﹣2，

显然OC″≥+1＞2＝C″D″

∴以O，，K为顶点的四边形为菱形， 不可能为边，只能以为邻边构成菱形

∴ ,

∵OK∥ ，PD⊥,

∴OK⊥PD

∴K1（，﹣），

如图3，把△DFC绕顶点F顺时针旋转45°，得到△D'FC'，

∴（﹣1，﹣3﹣）， （﹣1，﹣﹣3）

把沿直线PD平移至，连接 ,，

显然， ∥PD， ≥+1＞， ≥+1＞ ，

∴以O，，K为顶点的四边形为菱形，只能为对角线，

∴K2（2+，﹣2﹣）．

综上所述，点K的坐标为：K1（，﹣），K2（2+，﹣2﹣）．