Question

关于x的一元二次方程kx²-（1-2k）x+k=0
（1）当k为何值时，这个方程一定有实数根；
（2）已知等腰△ABC的一边a=

1

3

，若另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析：（1）整理根的判别式，得到它是非负数即可．
（2）分b=c，b=a两种情况做．

解答：证明：（1）∵方程一定有实数根，
∴△=（1-2k）²-4k²=1-4k≥0，
解得：k≤

1

4

且k≠0；
（2）①当b=c时，则△=0，
即1-4k=0，
∴k=

1

4

，
方程可化为x²-2x+1=0，
∴x₁=x₂=1，
而b=c=1，
∴L_△ABC=2

1

3

；

②当b=a=

1

3

，
∴k×

1

9

-（1-2k）×

1

3

+k=0．
解得：k=

3

16

，
设另一根为a，则a+

1

3

=1，
∴a=

2

3

，
此时不满足三角形三边关系，不合题意，
∴周长为2

1

3

．

点评：本题考查了根与系数的关系，一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，两根互为相反数应根据根与系数的关系做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．