Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的点，CD与⊙O相切于点D，连结BD、AD

（1）求证：∠BDC＝∠A；

（2）若∠C＝45°，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)．

【解析】

（1）连结OD．如图，利用切线的性质得∠2+∠BDC=90°，利用圆周角定理得到∠1+∠2=90°，则∠1=∠BDC，加上∠1=∠A，所以∠BDC=∠A；

（2）过D作DH⊥OB于H，得到DH=OH=，于是得到结论．

（1）证明：连结OD．如图，

∵CD与⊙O相切于点D，

∴OD⊥CD，

∴∠2+∠BDC＝90°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，即∠1+∠2＝90°，

∴∠1＝∠BDC，

∵OA＝OD，

∴∠1＝∠A，

∴∠BDC＝∠A；

（2）∵∠C＝45°，

∴∠DOC＝∠C＝45°，

过D作DH⊥OB于H，

∴DH＝OH＝，

∴图中阴影部分的面积＝S扇形BOD﹣S△BOD＝﹣＝．