题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C是AB延长线上的点,CD与⊙O相切于点D,连结BD、AD
(1)求证:∠BDC=∠A;
(2)若∠C=45°,⊙O的半径为1,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)
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【答案】(1)见解析;(2)
.
【解析】
(1)连结OD.如图,利用切线的性质得∠2+∠BDC=90°,利用圆周角定理得到∠1+∠2=90°,则∠1=∠BDC,加上∠1=∠A,所以∠BDC=∠A;
(2)过D作DH⊥OB于H,得到DH=OH=
,于是得到结论.
(1)证明:连结OD.如图,
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∵CD与⊙O相切于点D,
∴OD⊥CD,
∴∠2+∠BDC=90°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,即∠1+∠2=90°,
∴∠1=∠BDC,
∵OA=OD,
∴∠1=∠A,
∴∠BDC=∠A;
(2)∵∠C=45°,
∴∠DOC=∠C=45°,
过D作DH⊥OB于H,
∴DH=OH=
,
∴图中阴影部分的面积=S扇形BOD﹣S△BOD=
﹣
=
.
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