Question

【题目】阅读下列材料，完成相应的任务：

全等四边形根据全等图形的定义可知：四条边分别相等，四个角也分别相等的两个四边形全等.在“探索三角形全等的条件” 时，我们把两个三角形中“一条边相等” 或“一个角相等”称为一个条件.智慧小组的同学类比“探索三角形全等条件”的方法，探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考：如图 1，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中，连接对角线AC，A'C'，这样两个四边形全等的问题就转化为“△ABC≌△A'B'C'”与“△ACD ≌ △A 'C 'D '”的问题.若先给定“△ABC≌△A'B'C'”的条件，只要再增加2个条件使“△ACD≌△A'C'D'”即可推出两个四边形中“四条边分别相等，四个角也分别相等”，从而说明两个四边形全等.

按照智慧小组的思路，小明对图1中的四边形ABCD和四边形A'B'C'D'先给出如下条件：AB＝A'B'，∠B＝∠B'，BC＝B'C'，小亮在此基础上又给出“AD＝A'D'，CD＝C'D'”两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'”.

(1)请根据小明和小亮给出的条件，说明“四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'”的理由；

(2)请从下面A，B两题中任选一题作答，我选择______题.

A.在材料中“小明所给条件”的基础上，小颖又给出两个条件“AD＝A'D'，∠BCD＝∠B'C'D'”，满足这五个条件_______(填“能”或“不能”)得到“四边形 ABCD≌四边形A'B'C'D'”.

B.在材料中“小明所给条件”的基础上，再添加两个关于原四边形的条件(要求：不同于小亮的条件)，使“四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'”，你添加的条件是：①___________；②__________.：

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)A题：不能；B题：①∠D=∠D′；②∠DAC=∠D′A′C′.

【解析】

根据全等三角形判定定理求解即可.

(1)证明：在△ABC和△A'B'C'中，

∵

∴△ABC≌△A'B'C'(SAS)

∴AC＝A'C'，∠BAC＝∠B'A'C'，∠BCA＝∠B'C'A'，

在△ACD 和△A'C'D'中，

∵

∴△ACD≌△A'C'D'(SSS)

∴∠DAC＝∠D'A'C'，∠DCA＝∠D'C'A'，∠D＝∠D'

∴∠DAC+∠BAC＝∠D'A'C'+∠B'A'C'，∠BCA+∠DCA＝∠D'C'A'+∠B'C'A'

即：∠DAB＝∠D'A'B'，∠DCB＝∠D'C'B'

∵AB＝A'B'，BC＝B'C'，CD＝C'D'，DA＝D'A'，

∠DAB＝∠D'A'B'，∠B＝∠B'，∠DCB＝∠D'C'B'，∠D＝∠D'

∴四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'

(2)A题：小明给出的条件可得：在△ABC和△A'B'C'中，

∵

∴△ABC≌△A'B'C'(SAS)

∴AC＝A'C'

根据AD＝A'D'，∠BCD＝∠B'C'D'，不能判定△ACD≌△A'C'D'

∴不能得到四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'

故答案为：不能

B题.小明给出的条件可得：在△ABC和△A'B'C'中，

∵

∴△ABC≌△A'B'C'(SAS)

∴AC＝A'C'，∠BAC＝∠B'A'C'，∠BCA＝∠B'C'A'，

在△ACD和△A'C'D'中，

∵

∴△ACD≌△A'C'D'(AAS)

∴AD＝A'D'，CD＝C'D'，∠DCA＝∠D'C'A'.

∴∠DAC+∠BAC＝∠D'A'C'+∠B'A'C'，∠BCA+∠DCA＝∠D'C'A' +∠B'C'A'

即：∠DAB＝∠D'A'B'，∠DCB＝∠D'C'B'

∵AB＝A'B'，BC＝B'C'，CD＝C'D'，DA＝D'A'，

∠DAB＝∠D'A'B'，∠B＝∠B'，∠DCB＝∠D'C'B'，∠D＝∠D'

∴四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'

故答案为：∠D=∠D′，∠DAC=∠D′A′C′.