Question

如图，已知AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线，B为切点，OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E。

（1）求证：∠OPB=∠AEC；
（2）若点C为半圆的三等分点，请你判断四边形AOEC为哪种特殊四边形？并说明理由。

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线， ∴PB⊥AB， ∴∠OPB+∠POB=90°， ∵OP⊥BC， ∴∠ABC+∠POB=90°， ∴∠ABC=∠OPB， 又∠AEC=∠ABC， ∴∠OPB=∠AEC； （2）四边形AOEC是菱形； ∵OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E， ∴， ∵C为半圆的三等分点， ∴， ∴∠ABC=∠ECB， ∴AB∥CE， ∵AB是⊙O的直径， ∴AC⊥BC， 又OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E， ∴AC∥OE， ∴四边形AOEC是平行四边形， 又OA=OE， ∴四边形AOEC是菱形；