Question

7．△ABC中，∠A=60°，∠B的平分线BD与∠C的平分线CE相交于点H，请猜想：线段BE、CD与BC三者之间有何数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形内角和定理得到∠1+∠3+∠BHC=180°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°，利用等量代换得到2（180°-∠BHC）+∠A=180°，即有∠BHC=90°+$\frac{1}{2}$∠A=120°，从而求得∠BHE=60°，在BC上截取BF=BE，连接FH，由SAS证得△BHE≌△BHF（SAS），得出∠BHF=∠BHE=60°，进一步得出∠CHF=60°，由∠DHC=∠BHE=60°，得出∠DHC=∠CHF，即可根据AAS证得△DHC≌△FHC，证得DC=FC，从而证得BE+DC=BC．

解答 解：BE+CD=BC；
如图，∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点H，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠3+∠BHC=180°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°，
∴2∠1+2∠3+∠A=180°，
∴2（180°-∠BHC）+∠A=180°，
∴∠BHC=90°+$\frac{1}{2}$∠A=90°+$\frac{1}{2}$×60°=120°，
∴∠BHE=60°，
在BC上截取BF=BE，连接FH，
在△BHE和△BHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BF}\\{∠1=∠2}\\{BH=BH}\end{array}\right.$，
∴△BHE≌△BHF（SAS），
∴∠BHF=∠BHE=60°，
∴∠CHF=60°，
∵∠DHC=∠BHE=60°，
∴∠DHC=∠CHF，
在△DHC和△FHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{∠DHC=∠FHC}\\{HC=HC}\end{array}\right.$，
∴△DHC≌△FHC（AAS），
∴DC=FC，
∴BE+DC=BC．

点评 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．