如图所示.在平面直角坐标系中.过点A的两条直线分别交y轴于B.C两点.且B.C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根．(1)判断直线AC与直线AB的位置关系?并说明理由,(2)若点D在直线AC上.且DB=DC.动点E在直线AC上.作EF⊥直线BD垂足为点F.设点EF的长为d.点E的横坐标是x.请求出d与x的函数关系式,的条件下.直线BD上是否存� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（$\sqrt{3}$，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x²-2x-3=0的两个根．
（1）判断直线AC与直线AB的位置关系？并说明理由；
（2）若点D在直线AC上，且DB=DC，动点E在直线AC上（不与点D、C重合），作EF⊥直线BD垂足为点F，设点EF的长为d，点E的横坐标是x，请求出d与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，直线BD上是否存在点P，平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是菱形，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）结论：AB⊥CA．先求出B、C两点坐标，再求出直线AB、AC的解析式即可判断．
（2）分两种情形解答①x≥2$\sqrt{3}$，②x＜2$\sqrt{3}$，分别Z在Rt△DEF中，解直角三角形即可．
（3）分两种情形讨论即可①当AB为菱形对角线时，线段AB的垂直平分线的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1与y轴的交点即为点Q，此时Q₁（0，1）．
②当AB为菱形的边时，AB=BP=2$\sqrt{3}$，可得P₂（3，3-$\sqrt{3}$），P₃（-3，3+$\sqrt{3}$），根据菱形的性质求出点Q坐标即可．

解答解：（1）AB⊥AC，理由如下：
∵一元二次方程x²-2x-3=0的两个根为-1，3，
∴C（0，-1），B（0，3），
∵A（$\sqrt{3}$，0），
∴直线AB的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+3，直线AC的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1，
∵-$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=-1，
∴AB⊥AC，

（2）如图1中，作DM⊥BC于M．

∵DB=DC，DM⊥BC，
∴BM=CM=2，
∴OM=1，D（2$\sqrt{3}$，1），
∵tan∠OAC=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CAO=30°，∠DCB=∠OAB=60°，
∵DC=DB，
∴△DBC是等边三角形，
∴CD=BC=4，AC=AD=2，
①当点E在点D上方时，即x≥2$\sqrt{3}$时，
∵点E的横坐标为x，
∴AE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（x-$\sqrt{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-2，DE=AE-AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-4，
∵∠EDF=∠BDC=60°，
∴d=EF=DE•cos30°=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-4）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=x-2$\sqrt{3}$．
②当点E在点D下方时，即x＜2$\sqrt{3}$时，同理可得d=2$\sqrt{3}$-x．
综上所述d=$\left\{\begin{array}{l}{x-2\sqrt{3}}&{（x≥2\sqrt{3}）}\\{2\sqrt{3}-x}&{（x＜2\sqrt{3}）}\end{array}\right.$．

（3）如图2中，存在，理由如下：

当AB为菱形对角线时，线段AB的垂直平分线的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，
直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1与y轴的交点即为点Q，此时Q₁（0，1）．
当AB为菱形的边时，AB=BP=2$\sqrt{3}$，可得P₂（3，3-$\sqrt{3}$），P₃（-3，3+$\sqrt{3}$），
∵四边形ABP₂Q₂、四边形ABP₃Q₃是菱形，
∴Q₂（3+$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），Q₃（$\sqrt{3}$-3，$\sqrt{3}$），
综上所述，满足条件的点Q坐标（0，1）或（3+$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$）或（$\sqrt{3}$-3，$\sqrt{3}$）．

点评本题考查四边形综合题、一次函数、两直线位置关系、菱形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

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