题目内容

在直角坐标系中,点A(5,0)关于原点O的对称点为点C.

(1)请直接写出点C的坐标;

(2)若点B在第一象限内,∠OAB=∠OBA,并且点B关于原点O的对称点为点D.

①试判断四边形ABCD的形状,并说明理由;

②现有一动点P从B点出发,沿路线BA—AD以每秒1个单位长的速度向终点D运动,另一动点Q从A点同时出发,沿AC方向以每秒0.4个单位长的速度向终点C运动,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.已知AB=6,设点P、Q的运动时间为t秒,在运动过程中,当动点Q在以PA为直径的圆上时,试求t的值.

解:(1)C(-5,0)…………………………………………(3分)

(2)①四边形ABCD为矩形,理由如下:

如图,由已知可得:A、O、C在同一直线上,且            OA=OC;B、O、D在同一直线上,且OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.…………………………………………………………(5分)

∵∠OAB=∠OBA∴OA=OB,即AC=2OA=2OB=BD

∴四边形ABCD是矩形.……………………………………(7分)

②如图,由①得四边形ABCD是矩形

∴∠CBA=∠ADC=90°………………………………………(8分)

又AB=CD=6,AC=10

∴由勾股定理,得BC=AD=

==8…………………………………(9分)

∵,,∴0≤t≤14.……………………(10分)

当0≤t≤6时,P点在AB上,连结PQ.

∵AP是直径,∴∠PQA=90°…………………………………(11分)

又∠PAQ=∠CAB,∴△PAQ∽△CAB

∴,即,解得t=3.6…………………………(12分)

当6<t≤14时,P点在AD上,连结PQ,

同理得∠PQA=90°,△PAQ∽△CAD

∴,即t-6,解得t=12.

综上所述,当动点Q在以PA为直径的圆上时,t的值为

3.6或12.……………………………………………………………(13分)

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