Question

【题目】如图，在△ABD中，C为AD上一点，AB＝CD＝1，∠ABC＝90°，∠CBD＝30°，则AC＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先利用有30°角的直角三角形的性质和勾股定理，设BE为x，求得DE用x表示；作DE垂直于AB的延长线于点E，设AC为y，利用平行线分线段成比例，用x表示y；再利用△ABC∽△AED，求得BC（用含x的式子表示），最后在Rt△ABC中再利用勾股定理建立方程，求出x，从而解决问题．

解：分别过点A、C作AE⊥BD，CF⊥BD交BD于点，F两点，

如图所示：

设CF的长为x，AC的长为y，

∵AE⊥BD，

∴∠AEB＝90°，

又∵∠ABE+∠ABC+∠CBD＝180°，

∠ABC＝90°，∠CBD＝30°，

∴∠ABE＝60°，

又∵AB＝1，

∴AE＝，

又∵CF⊥BD，

∴∠CFB＝∠CFD＝90°，

又∵∠CBD＝30°，

∴BC＝2x，

又∵∠ABC＝90°，AB＝1，

∴，

∴，

又∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴CF∥AE，

∴△DCF∽△DAE，

∴,

即，

整理得：，

两边分别平方得：，

把代入得：，

整理得：，

，

解得：y＝﹣2（舍去），y＝，

即AC的长为，

故答案为．