Question

若一元二次方程x²-6x+5-m=0的两实数根都大于2，求m的取值范围．

Answer 1

分析：如果设一元二次方程x²-6x+5-m=0的两实根为x₁，x₂，那么根据两实数根都大于2，可知①△≥0，②（x₁-2）+（x₂-2）＞0，③（x₁-2）（x₂-2）＞0同时成立．先由根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根之和与两根之积，再分别代入②③，解由①②③联立起来的不等式组，即可求出m的取值范围．

解答：解：设一元二次方程x²-6x+5-m=0的两实根为x₁，x₂，则
x₁+x₂=6，x₁，•x₂=5-m．
又∵两实数根x₁，x₂都大于2，
∴

△≥0 (x1-2)+(x2-2)＞0 (x1-2)(x2-2)＞0

，
即

36-4(5-m)≥0 6-4＞0 5-m-2×6+4＞0

，
解得-4≤m＜-3．
故所求m的取值范围是-4≤m＜-3．

点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式以及一元一次不等式组的解法等知识，难度中等．正确理解一元二次方程x²-6x+5-m=0的两实数根都大于2是解题的关键．