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精英家教网如图，以△ABC的边BC为弦，在点A的同侧画
BC
交AB于D，且∠BDC=90°+
1
2
∠A，点P是
BC
上的一个动点．
（1）判定△ADC的形状，并说明理由；
（2）若∠A=70°，当点P运动到∠PBA=∠PBC=15°时，求∠ACB和∠ACP的度数．
（3）当点P在
BC
上运动时，过点P画直线MN⊥AP，分别交AB、AC于点M、N，是否存在这样的点P，使得△BMP和△BPC和△CPN彼此相似？请说明理由．
分析：（1）根据三角形的内角和为180°与邻补角的性质，即可求得∠ACD=∠ADC，又由等角对等边，即可求得△ADC是等腰三角形；
（2）利用三角形的内角和定理，可得∠ACB=80°，根据已知即可求得∠BPC=∠BDC=125°，然后可得∠PCB与∠ACP的度数；
（3）由当点P运动至
CD
的中点时，△BMP和△BPC和△CPN彼此相似，可得∠ABP=∠CBP，即可设∠A=x度，∠ABP=∠CBP=y度，利用方程表达可得∠PCB=∠ACP，即可得到∠BMP=∠CNP=90+
x
2
=∠BPC，问题得证．
解答：解：（1）∵△ADC是等腰三角形．
∵∠BDC=90°+
∠A
2
，
∴∠ADC=90°-
∠A
2
，
∴∠ACD=90°+
∠A
2
-∠A=90°-
∠A
2
，
∴∠ACD=∠ADC，
∴△ADC是等腰三角形．

（2）∵∠A=70°，∠PBA=∠PBC=15°，
∴∠ACB=180°-70°-2×15°=80°，
∵∠BPC=∠BDC=90°+
70°
2
=125°，
∴∠PCB=180°-15°-125°=40°，
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=80°-40°=40°．
答：∠ACB为80°，∠ACP为40°．

（3）当点P运动至
CD
的中点时，△BMP和△BPC和△CPN彼此相似．
∵P运动至
CD
的中点，
∴∠ABP=∠CBP，
设∠A=x度，∠ABP=∠CBP=y度，
∴∠PCB=180-y-（90+
x
2
）=90-y-
x
2
，
∵∠ACB=180-x-2y，
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=（180-x-2y）-（90-y-
x
2
）=90-y-
x
2
，
∴∠PCB=∠ACP，
∴PC平分∠ACB．
∴当点P运动至
CD
的中点时，点P是△ABC的角平分线的交点．
∴AP平分∠BAC．
∴∠BMP=∠CNP=90+
x
2
=∠BPC，
∴△BMP和△BPC和△CPN彼此相似．
点评：本题考查了三角形内角和定理，邻补角的性质以及相似三角形的判定与性质．解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
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26、如图，以△ABC的边AB、AC为边的等边三角ABD和等边三角形ACE，四边形ADFE是平行四边形．
（1）当∠BAC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形；
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精英家教网如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交BC于D点，交AC于E点，BD=DE
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若E是AC的中点，求
BD
的度数．
（2011•峨眉山市二模）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，BC与⊙O交于D，D是BC的中点，过D作DE⊥AC，交AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=10，BD=8，求DE的长．
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求证：DM2=DH•DA．
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（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AD=2
5
，求DE的长．

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