题目内容
如图，以△ABC的边BC为弦，在点A的同侧画 |
| BC |
| 1 |
| 2 |
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| BC |
（1）判定△ADC的形状，并说明理由；
（2）若∠A=70°，当点P运动到∠PBA=∠PBC=15°时，求∠ACB和∠ACP的度数．
（3）当点P在
|
| BC |
分析：（1）根据三角形的内角和为180°与邻补角的性质，即可求得∠ACD=∠ADC，又由等角对等边，即可求得△ADC是等腰三角形；
（2）利用三角形的内角和定理，可得∠ACB=80°，根据已知即可求得∠BPC=∠BDC=125°，然后可得∠PCB与∠ACP的度数；
（3）由当点P运动至
的中点时，△BMP和△BPC和△CPN彼此相似，可得∠ABP=∠CBP，即可设∠A=x度，∠ABP=∠CBP=y度，利用方程表达可得∠PCB=∠ACP，即可得到∠BMP=∠CNP=90+
=∠BPC，问题得证．
（2）利用三角形的内角和定理，可得∠ACB=80°，根据已知即可求得∠BPC=∠BDC=125°，然后可得∠PCB与∠ACP的度数；
（3）由当点P运动至
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| CD |
| x |
| 2 |
解答：解：（1）∵△ADC是等腰三角形．
∵∠BDC=90°+
，
∴∠ADC=90°-
，
∴∠ACD=90°+
-∠A=90°-
，
∴∠ACD=∠ADC，
∴△ADC是等腰三角形．
（2）∵∠A=70°，∠PBA=∠PBC=15°，
∴∠ACB=180°-70°-2×15°=80°，
∵∠BPC=∠BDC=90°+
=125°，
∴∠PCB=180°-15°-125°=40°，
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=80°-40°=40°．
答：∠ACB为80°，∠ACP为40°．
（3）当点P运动至
的中点时，△BMP和△BPC和△CPN彼此相似．
∵P运动至
的中点，
∴∠ABP=∠CBP，
设∠A=x度，∠ABP=∠CBP=y度，
∴∠PCB=180-y-（90+
）=90-y-
，
∵∠ACB=180-x-2y，
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=（180-x-2y）-（90-y-
）=90-y-
，
∴∠PCB=∠ACP，
∴PC平分∠ACB．
∴当点P运动至
的中点时，点P是△ABC的角平分线的交点．
∴AP平分∠BAC．
∴∠BMP=∠CNP=90+
=∠BPC，
∴△BMP和△BPC和△CPN彼此相似．
∵∠BDC=90°+
| ∠A |
| 2 |
∴∠ADC=90°-
| ∠A |
| 2 |
∴∠ACD=90°+
| ∠A |
| 2 |
| ∠A |
| 2 |
∴∠ACD=∠ADC，
∴△ADC是等腰三角形．
（2）∵∠A=70°，∠PBA=∠PBC=15°，
∴∠ACB=180°-70°-2×15°=80°，
∵∠BPC=∠BDC=90°+
| 70° |
| 2 |
∴∠PCB=180°-15°-125°=40°，
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=80°-40°=40°．
答：∠ACB为80°，∠ACP为40°．
（3）当点P运动至
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| CD |
∵P运动至
|
| CD |
∴∠ABP=∠CBP，
设∠A=x度，∠ABP=∠CBP=y度，
∴∠PCB=180-y-（90+
| x |
| 2 |
| x |
| 2 |
∵∠ACB=180-x-2y，
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=（180-x-2y）-（90-y-
| x |
| 2 |
| x |
| 2 |
∴∠PCB=∠ACP，
∴PC平分∠ACB．
∴当点P运动至
|
| CD |
∴AP平分∠BAC．
∴∠BMP=∠CNP=90+
| x |
| 2 |
∴△BMP和△BPC和△CPN彼此相似．
点评：本题考查了三角形内角和定理，邻补角的性质以及相似三角形的判定与性质．解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
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