题目内容
【题目】已知
是
的外接圆，
是的直径，过
的中点
作的直径
交弦
于点
，连接
、
、
.
（1）如图1，若点是线段
的中点，求
的度数；
（2）如图2，在
上取一点
，使
，求证：
；
（3）如图3，取的中点
，连接
并延长交于点
，连接
和交于点
，若
，且
，求的长.
【答案】（1）
；（2）见解析；（3）
【解析】
（1）根据垂径定理可得
是
的垂直平分线，又由点
是线段的中点，可得是的垂直平分线，进而得出
为等边三角形，由直径所对的圆周角是直角，可在Rt△ABC中根据角的运算即可求出结果.
（2）根据内错角相等，两直线平行可得
，由
得出边角相等，进而得出
，得出四边形
是平行四边形，得到
.
（3）由点
是
中点，得出
是
中位线，如图所示构造辅助线，根据已知条件，运用勾股定理列出方程，解出方程.
（1）解：连接
∵点
是
中点
∴
又∵
∴是的垂直平分线
又∵是中点
∴是的垂直平分线
∴
又∵
∴为等边三角形
∴
∵
是
直径
∴
∴
（2）证明：连接
由（1）可知
∵
∴
∴
∴
同理可知
∴
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∴
（3）由（1）可知点是中点
∵点是中点
∴是中位线
即
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
延长
交于点
，连接
，连接
并延长交于点
，连接
和
，延长和
相交于点
.
∵
∴
∵
是的直径
∴
∴
∴
过点作
，垂足为
，过点作
，垂足为
，
设
则
，
，
，
，
，
，
∴
∵
是
的中位线
∴
在
中
在
中设
，
，
，
在
中
，
在
中
解得
（舍去）
，
∵
∴
∴
在
中
，
，
，
在
中
练习册系列答案
相关题目
