Question

如图①，AB是半圆O的直径，以OA为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点（P与点A，O不重合），AP的延长线交半圆O于点D，其中OA=4．

（1）判断线段AP与PD的大小关系，并说明理由；

（2）连接OD，当OD与半圆C相切时，求的长；

（3）过点D作DE⊥AB，垂足为E（如图②），设AP=x，OE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

考点：

圆的综合题．

分析：

（1）AP=PD．理由如下：如图①，连接OP．利用圆周角定理知OP⊥AD．然后由等腰三角形“三合一”的性质证得AP=PD；

（2）由三角形中位线的定义证得CP是△AOD的中位线，则PC∥DO，所以根据平行线的性质、切线的性质易求弧AP所对的圆心角∠ACP=90°；

（3）分类讨论：点E落在线段OA和线段OB上，这两种情况下的y与x的关系式．这两种情况都是根据相似三角形（△APO∽△AED）的对应边成比例来求y与x之间的函数关系式的．

解答：

解：（1）AP=PD．理由如下：

如图①，连接OP．

∵OA是半圆C的直径，

∴∠APO=90°，即OP⊥AD．

又∵OA=OD，

∴AP=PD；

（2）如图①，连接PC、OD．

∵OD是半圆C的切线，

∴∠AOD=90°．

由（1）知，AP=PD．

又∵AC=OC，

∴PC∥OD，

∴∠ACP=∠AOD=90°，

∴的长==π；

（3）分两种情况：

①当点E落在OA上（即0＜x≤2时），如图②，连接OP，则∠APO=∠AED．

又∵∠A=∠A，

∴△APO∽△AED，

∴=．

∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4﹣y，

∴=，

∴y=﹣x²+4（0＜x≤2）；

②当点E落在线段OB上（即2＜x＜4）时，如图③，连接OP．

同①可得，△APO∽△AED，

∴=．

∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4+y，

∴=，

∴y=x²+4（2＜x＜4）．

点评：

本题综合考查了圆周角定理、圆的切线的性质以及相似三角形的判定与性质．解答（3）题时，要分类讨论，以防漏解．解答几何问题时，要数形结合，使抽象的问题变得形象化，降低题的难度与梯度．