Question

【题目】对于任意一个自然数N，将其各个数位上的数字相加得到一个数，我们把这一过程称为一次操作，把这个得到的数进行同样的操作，不断进行下去，最终会得到一个一位数K，我们把K称为N的“终极数”，并记f（N）＝K．例如，456→4+5+6＝15→1+5＝6，∴f（456）＝6．

（1）计算：f（2019）＝　 　．f（20192020）＝　 　．

（2）有一个三位自然数M＝，已知f（M）＝4，且x＜y＜z，请求出所有满足条件的自然数M．

Answer 1

【答案】（1）3，7；（2）有满足条件的M为139，148，157，238，247，256，346，589，678．

【解析】

（1）由题意直接可求；

（2）由已知条件得到4＝0+4＝1+3＝2+2，即z+y+z的值为4或13或22，再结合x＜y＜z，即可求解．

解：（1）由题意可知，2019→2+0+1+9＝12→1+2＝3，

∴f（2019）＝3；

20192020→2+0+1+9+2+0+2+0＝16→1+6＝7，

∴f（20192020）＝7；

故答案为3，7；

（2）∵三位自然数M＝，f（M）＝4，

∵4＝0+4＝1+3＝2+2，

当4＝0+4时，x+y+z＝4，或x+y+z＝40（舍），

∵x＜y＜z，

∴x＝0，y＝1，z＝3，此时不符题意；

当4＝1+3时，x+y+z＝13或x+y+z＝31（舍），

∵x＜y＜z，

∴满足条件的M为139，148，157，238，247，256，346，

当4＝2+2时，x+y+z＝22，

∵x＜y＜z，

∴满足条件的M为589，678，

综上所述，所有满足条件的M为139，148，157，238，247，256，346，589，678．