Question

如图，已知：⊙O₁与⊙O₂是等圆，它们相交于A、B两点，O₂在⊙O₁上，AC是⊙O₂的直径，直线CB交⊙O₁于D，E为AB延长线上一点，连接DE．

(1)请你连接AD，证明：AD是⊙O₁的直径；

(2)若∠E＝60°，求证：DE是⊙O₁的切线．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：连接AD，∵AC是⊙O2的直径，∴AB⊥DC，∴∠ABD＝90°，∴AD为⊙O1的直径． 　　(2)证法一：∵AD是为⊙O1的直径，∴点O1为AD中点．连接O1O2，∵点O2在⊙O1上，⊙O1与⊙O2的半径相等，∴O1O2＝AO1＝AO2，∴△AO1O2是等边三角形，∴∠AO1O2＝60°．由三角形中位线定理得：O1O2∥DC，∴∠ADB＝∠AO1O2＝60°．∵AB⊥DC，∠E＝60°，∴∠BDE＝30°，∴∠ADE＝∠ADB＋∠BDE＝60°＋30°＝90°，又AD是直径，∴DE是⊙O1的切线．证法二：连接O1O2，∵点O2在⊙O1上，⊙O1与⊙O2的半径相等，∴点O1在⊙O2上．∴AO1＝AO2＝O1O2，∴∠O1AO2＝60°．∵AB是公共弦，∴AB⊥O1O2，∴∠O1AB＝30°．∵∠E＝60°，∴∠ADE＝180°－(∠E＋∠O1AB)＝180°－(60°＋30°)＝90°．由(1)知：AD是⊙O1的直径，∴DE是⊙O1的切线．