在正方形ABCD中.点E是对角线AC的中点.点F在边CD上.连接DE.AF.点G在线段AF上(1)如图①.若DG是△ADFD的中线.DG=2.5.DF=3.连接EG.求EG的长,(2)如图②.若DG⊥AF交AC于点H.点F是CD的中点.连接FH.求证:∠CFH=∠AFD,(3)如图③.若DG⊥AF交AC于点H.点F是CD上的动点.连接EG．当点F在边CD上运动时.∠EGH的大小是否发生改变?若不改� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．在正方形ABCD中，点E是对角线AC的中点，点F在边CD上，连接DE、AF，点G在线段AF上

（1）如图①，若DG是△ADFD的中线，DG=2.5，DF=3，连接EG，求EG的长；
（2）如图②，若DG⊥AF交AC于点H，点F是CD的中点，连接FH，求证：∠CFH=∠AFD；
（3）如图③，若DG⊥AF交AC于点H，点F是CD上的动点，连接EG．当点F在边CD上（不含端点）运动时，∠EGH的大小是否发生改变？若不改变，求出∠EGH的度数；若发生改变，请说明理由．

分析（1）由正方形的性质得出AD=CD=BC，∠ADF=∠BCD=90°，∠DAC=∠ACB=∠ACD=45°，由直角三角形斜边上的中线性质得出AF=2DG=5，由勾股定理求出CD=AD=4，得出CF=1，由三角形中位线定理得出EG=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$即可；
（2）延长DH交BC于M，证出∠AFD=∠DMC，由AAS证明△CDM≌△DAF，得出对应边相等CM=DF，由已知条件得出DF=CF，因此CM=CF，由SAS证明△CMH≌△CFH，得出对应角相等∠CMH=∠CFH，即可得出结论；
（3）由直角三角形的性质得出DE=$\frac{1}{2}$AC=AE，由等腰三角形的性质得出∠ADE=∠DAC=45°，证出∠AED=90°=∠AGD，延长A、D、G、E四点共圆，由圆周角定理得出∠AGE=∠ADE=45°，即可得出结果．

解答（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠ADF=∠BCD=90°，∠DAC=∠ACB=∠ACD=45°，
∵DG是△ADF的中线，DG=2.5，
∴AF=2DG=5，
∴CD=AD=$\sqrt{A{F}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴CF=CD-DF=1，
∵点E是对角线AC的中点，G是AF的中点，
∴EG是△ACF的中位线，
∴EG=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$；
（2）证明：延长DH交BC于M，如图所示，
∵DG⊥AF，
∴∠AGH=∠DGA=∠DGF=90°，
∴∠AFD+∠FDG=90°，
∵∠DMC+∠FDG=90°，
∴∠AFD=∠DMC，
在△CDM和△DAF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠ADF}&{\;}\\{∠DMC=∠AFD}&{\;}\\{CD=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDM≌△DAF（AAS），
∴CM=DF，
∵点F是CD的中点，
∴DF=CF，
∴CM=CF，
在△CMH和△CFH中，$\left\{\begin{array}{l}{CM=CF}&{\;}\\{∠HCM=∠HCF}&{\;}\\{CH=CH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CMH≌△CFH（SAS），
∴∠CMH=∠CFH，
∴∠CFH=∠AFD；
（3）解：∠EGH的大小不发生改变，∠EGH=45°；理由如下：
∵点E是对角线AC的中点，∠ADC=90°，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=AE，
∴∠ADE=∠DAC=45°，
∴∠AED=90°=∠AGD，
∴A、D、G、E四点共圆，
∴∠AGE=∠ADE=45°，
∴∠EGH=90°-45°=45°．