Question

如图，已知∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC．
（1）填空：①∠DAB+∠B=______度；　　 ②∠2=______度；
（2）AB与CD平行吗？若平行，请说明理由；若不一定，那么再加上什么条件就平行了呢？为什么？
（3）若AB=3，AC=4，BC=5，求点A到直线BC的距离．

Answer 1

解：（1）∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵∠1=30°，∠B=60°，
∴∠2=30°，
∴∠1=∠2，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠B=180°，∠2=30°；

（2）AB与CD不一定平行．
当CD⊥AC时，AB∥DC．
理由：∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴∠BAC=∠ACD=90°，
∴AB∥DC；
（注：本小题为开放性试题，答案不唯一）

（3）如上图，作AE⊥BC于点E，
∵，
∴BC×AE=AB×AC，
∴，
∴点A到直线BC的距离是．
分析：（1）因为AB⊥AC，所以∠BAC=90°，又因为∠1=30°，∠B=60°，则可求得∠1=∠BCA=30°，故AD∥BC，根据两直线平行，同旁内角互补及内错角相等求解；
（2）AD与BC被第三条直线所截形成的内错角或同旁内角的关系不确定，故不能判断平行．所添加的条件，按照内错角相等或同旁内角互补的关系来找；
（3）作AE⊥BC于点E，则可得到△ABC的面积=BC×AE的一半=AB×AC的一半，即有AE=（AB×AC）÷BC，则点A到直线BC的距离可求．
点评：本题考查平行线的性质和判定、点到直线的距离．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．