Question

3．两块不相等的等腰直角三角形如图1放置，图2是它们抽象出的几何图形，点B、C、E在同一条直线上，连接CD，AE、CD交于点F，请你在不添加线段或字母的情况下：
（1）找出一对全等三角形并证明；
（2）找出一对相似但不全等的三角形，并证明（△ABC∽△AED除外）．

Answer 1

分析 （1）△ABE≌△ACD，理由为：由三角形ABC与三角形AED都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠EAD=90°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；
（2）△ADF∽△CEF，理由为：由△ABE≌△ACD，利用全等三角形对应角相等得到∠ADC=∠AEB，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的三角形相似即可得证．

解答 （1）答：△ABE≌△ACD，理由为：
证明：∵△ABC与△ADE都为等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠EAC，即∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）答：△ADF∽△CEF，理由为：
证明：∵△ABE≌△ACD，
∴∠ADC=∠AEB，
∵∠AFD=∠EFC，
∴△ADF∽△CEF．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．