Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，AB＝a，∠ABC＝60°，过点A作AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F．

（1）连接EF，用等式表示线段EF与EC的数量关系，并说明理由；

（2）连接BF，过点A作AK⊥BF，垂足为K，求BK的长（用含a的代数式表示）；

（3）延长线段CB到G，延长线段DC到H，且BG＝CH，连接AG、GH、AH．

①判断△AGH的形状，并说明理由；

②若a＝2，S△ADH＝（3+），求sin∠GAB的值．

Answer 1

【答案】（1）EF＝EC；理由见解析；（2）BK＝；（3）①△AGH为等边三角形；理由见解析；②sin∠GAB＝．

【解析】

(1)根据菱形的性质得出线段和角度相等,进而推出△AEB≌△AFD,再通过条件证明△AEF为等边三角形,根据等边三角形的性质求出EF即可.

(2)利用三角函数解出BK即可.

(3)①根据题意画出图形,利用三角形全等证明两边相等一角为60°即可证明△AGH为等边三角形;②过点C作CM⊥AH于点M,通过△ADH的面积算出DH,从而求出CH和HF,可证明△AFH是等腰直角三角形,再利用三角函数求出即可.

在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则△ABC、△ACD为两个边长为a的等边三角形．

（1）如图1，∵AB＝AD，∠ABE＝∠ADF，∠ADF＝∠AEB＝90°，

∴△AEB≌△AFD（AAS），

∴AE＝AF，

在等边△ABC中，∵AE⊥BC，

∴AE是∠BAC的角平分线，故∠BAE＝30°，

同理∠DAF＝30°，

∵∠ABC＝60°，则∠BAD＝120°，

∴∠EAF＝∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，

∴△AEF为等边三角形；

在等边三角形ABC中，AE＝ABsin∠ABC＝a＝EF＝AF，BE＝EC＝a，

∴EF＝EC；

（2）如图1，∠BAF＝∠BAD﹣∠FAD＝90°，

在Rt△ABF中，tan∠ABF＝＝＝，则cos∠ABF＝，

在Rt△ABK中，BK＝ABcos∠ABF＝a×＝a；

（3）①如图2，连接AC，

∵BG＝CH，AB＝AC，

又∵∠ABG＝180°﹣∠ABC＝120°，∠ACH＝180°﹣ACD＝120°＝∠ABG，

∴△ABG≌△ACH（SAS），

∴AG＝AH，∠GAB＝∠HAC，

∴∠GAH＝∠GAB+∠BAH＝∠HAC+∠BAH＝∠BAC＝60°，

∴△AGH为等边三角形；

②如图2，过点C作CM⊥AH于点M，

S△ADH＝AF×DH＝××2×DH＝（3+），

解得：DH＝，

CH＝DH﹣CD＝，

HF＝DH﹣FD＝＝AF，

∴△AFH为等腰直角三角形，则∠AHC＝45°，

在Rt△CHM中，sin∠MHC＝＝＝sin45°＝，

故CM＝，

在Rt△ACM中，sin∠HCM＝＝＝＝sin∠GAB，

故sin∠GAB＝．