Question

有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm．如图①，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合； 将直尺沿AB方向平移（如图②），设平移的长度为xcm（ 0≤x≤10 ），直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为Scm²．
（1）当x=0时（如图①），S=

 

；
（2）当0＜x≤4时（如图②），求S关于x的函数关系式；
（3）当4＜x＜6时，求S关于x的函数关系式；
（4）直接写出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）当x=0时，重合部分是等腰直角三角形AEF，因此面积为

1

2

×2×2=2．
（2）当0＜x≤4时，F在AC上运动（包括与C重合）．重合部分是直角梯形DEFG，易知：三角形ADG和AEF均为等腰直角三角形，因此DG=x，EF=x+2，可根据梯形的面积公式求出此时S，x的函数关系式．
（3）当4＜x＜6时，F在BC上运动（与B、C不重合），当G在AC上，F在BC上运动时，即当4＜x＜6时，重合部分是五边形CGDEF，可用三个等腰直角三角形ABC，ADG，BEF的面积差来求得．
（4）根据（3）可得出关于S，x的函数关系式，根据函数的性质和各自的自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的x的值．

解答：解：（1）由题意可知：
当x=0时，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AE=EF=2，
则阴影部分的面积为：S=

1

2

×2×2=2；
故答案为：2；

（2）在Rt△ADG中，∠A=45°，
∴DG=AD=x，同理EF=AE=x+2，
∴S_梯形DEFG=

1

2

（x+x+2）×2=2x+2．
∴S=2x+2；

（3）①当4＜x＜6时（图1），
GD=AD=x，EF=EB=12-（x+2）=10-x，
则S_△ADG=

1

2

AD•DG=

1

2

x²，S_△BEF=

1

2

（10-x）²，
而S_△ABC=

1

2

×12×6=36，S_△BEF=

1

2

（10-x）²，
∴S=36-

1

2

x²-

1

2

（10-x）²=-x²+10x-14，
S=-x²+10x-14=-（x-5）²+11，
∴当x=5，（4＜x＜6）时，S_最大值=11．

（4）S_最大值=11．

点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质、图形面积的求法及二次函数的综合应用等知识．同时还有三角形的面积及不规则图形的面积计算，解题的关键是根据题意正确画出图形，表示出线段之间的关系．