题目内容

13．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：
①△ABE≌△DCF；②$\frac{FP}{PH}=\frac{3}{5}$；③DP2=PH•PB；④$\frac{{S}_{△EPD}}{{S}_{正方形ABCD}}=\frac{\sqrt{3}-1}{4}$．
其中正确的是①③．（写出所有正确结论的序号）

分析 ①根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠ABE=∠DCF，∠A=∠ADC，AB=CD，证得△ABE≌△DCF，①正确；
②由于∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPC=60°，推出△DFP∽△BPH，得到$\frac{FP}{PH}$=$\frac{DF}{PB}$=$\frac{DF}{CD}$=tan∠DCF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，②错误；
③由于∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到$\frac{DP}{CD}$=$\frac{PH}{DP}$，PB=CD，等量代换得到DP2=PH•PB，③正确；
④设正方形ABCD的边长是3，则PB=BC=AD=3，求得∠EBA=30°，得出AE、BE、EP的长，由S△BED=SABD-SABE，S△EPD=$\frac{EP}{BE}$S△BED，求得$\frac{{S}_{△EPD}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{9-5\sqrt{3}}{12}$，④错误；即可得出结论．

解答 解：①∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
在△ABE与△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠ADC}\\{AB=CD}\\{∠ABE=∠DCF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
故①正确；
②∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠FCB=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴$\frac{FP}{PH}$=$\frac{DF}{PB}$=$\frac{DF}{CD}$=tan∠DCF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故②错误；
③∵∠FDP=15°，
∴∠PDH=30°
∴∠PDH=∠PCD，
∵∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CDP，
∴$\frac{DP}{CD}$=$\frac{PH}{DP}$，
∴DP2=PH•CD，
∵PB=CD，
∴DP2=PH•PB，
故③正确；
④设正方形ABCD的边长是3，
∵△BPC为正三角形，
∴∠PBC=60°，PB=BC=AD=3，
∴∠EBA=30°，
∴AE=ABtan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
BE=$\frac{AB}{cos30°}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴EP=BE-BP=2$\sqrt{3}$-3，
S△BED=SABD-SABE=$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$=$\frac{9-3\sqrt{3}}{2}$，
S△EPD=$\frac{EP}{BE}$S△BED=$\frac{2\sqrt{3}-3}{2\sqrt{3}}$×$\frac{9-3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{27-15\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{{S}_{△EPD}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{\frac{27-15\sqrt{3}}{4}}{9}$=$\frac{9-5\sqrt{3}}{12}$，
故④错误；
∴正确的是①③；
故答案为：①③．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定、等边三角形的性质、正方形的性质、三角形面积计算、三角函数等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形面积计算、三角函数是解决问题的关键．

练习册系列答案
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第1天第2天第3天第4天第5天第6天
售价x（元/千克）20181512109
销售量y（千克）4550607590100
由表中数据可知，试销期间这批水蜜桃的每天销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足我们曾经学过的某种函数关系．若在这批水蜜桃的后续销售中，每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间都满足这一函数关系．
（1）你认为y与x之间满足什么函数关系？并求y关于x的函数表达式．
（2）在试销6天后，该农户决定将这批水密桃的售价定为15元/千克．
①若每天都按15元/千克的售价销售，则余下的水蜜桃预计还要多少天可以全部售完？
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