题目内容
【题目】对于平面内的点
和点
，给出如下定义：点
为平面内的一点，若点使得
是以
为顶角且小于90°的等腰三角形，则称点是点关于点的锐角等腰点．如图，点是点关于点的锐角等腰点．在平面直角坐标系
中，点
是坐标原点．
（1）已知点
，在点
，
中，是点关于点
的锐角等腰点的是___________．
（2）已知点
，点
在直线
上，若点是点关于点的锐角等腰点，求实数
的取值范围．
（3）点
是
轴上的动点，
，点
是以为圆心，2为半径的圆上一个动点，且满足
．直线
与轴和
轴分别交于点
，若线段
上存在点
关于点
的锐角等腰点，请直接写出
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】
（1）根据等腰锐角点的定义即得；
（2）先确定极限位置：直线与圆相切于第四象限及直线过（0,3）时b的值，进而确定范围；
（3）分类讨论：E点和F点位于线段HK左侧；E点和F点位于线段HK右侧；利用一线三垂直模型及相似三角形的性质确定极限位置t的值，进而确定范围．
（1）∵点P是点
关于点
的锐角等腰点，
∴OA=OP=2
如下图：
当
时，OP1=2，OP1⊥OA，不成立；
当
时，过P2作P2M⊥x轴
∴OM=1，P2M=
∴在
中，
∵
∴点是点关于点的锐角等腰点；
当
时，
∴点不是点关于点的锐角等腰点；
当
时，过P4作P4N⊥x轴
∴ON=
，P4N=
∴在
中，
，
∴点是点关于点的锐角等腰点．
∴点关于点的锐角等腰点有，
故答案为：
（2）以O为圆心，OA=3为半径作圆，当直线
与圆O相切与第四象限时，切点即为点关于点的锐角等腰点，如下图点
．
由题意，得：OB=-b，OD=
∴在
中，
∵
∴
解得：
如上图：当直线过点E
时，
，OE⊥OA
∴要使在直线上存在点是点关于点的锐角等腰点，
综上所述：时，直线上存在点是点关于点的锐角等腰点 ．
（3）如下图：
当
在直线左侧，
时，过
作
∵
∴
∴
∵
∴KO=4，KH=
，EH=4-t
∴EG=
∵要使线段
上存在点关于点
的锐角等腰点，则
∴
∴
当E点和F点位于线段HK右侧时，即：
时，如下图，过E作EB⊥EF，过B作BM⊥x轴，过点F作FL⊥x轴
当
时，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
∴
将点代入直线
得：
解得：
∴当
时，线段上存在点关于点的锐角等腰点．
∵
，
∴
，即
综上所述：时，线段上存在点关于点的锐角等腰点
【题目】如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②BD=1+
；③BE+DF=EF；④∠AEB=75°．其中正确的序号是______．
【题目】体育老师为了解本校九年级女生1分钟“仰卧起坐”体育测试项目的达标情况，从该校九年级136名女生中，随机抽取了20名女生，进行了1分钟仰卧起坐测试，获得数据如下：
收集数据：抽取20名女生的1分钟仰卧起坐测试成绩(个)如下：
38 46 42 52 55 43 59 46 25 38
35 45 51 48 57 49 47 53 58 49
（1）整理、描述数据：请你按如下分组整理、描述样本数据，把下列表格补充完整：
范围 |
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|
|
|
|
人数 |
(说明：每分钟仰卧起坐个数达到49个及以上时在中考体育测试中可以得到满分)
（2）分析数据：样本数据的平均数、中位数、满分率如下表所示：
平均数 | 中位数 | 满分率 |
46.8 | 47.5 |
|
得出结论：①估计该校九年级女生在中考体育测试中1分钟“仰卧起坐”项目可以得到满分的人数；
②该中心所在区县的九年级女生的1分钟“仰卧起坐”总体测试成绩如下：
平均数 | 中位数 | 满分率 |
45.3 | 49 |
|
请你结合该校样本测试成绩和该区县总体测试成绩，为该校九年级女生的1分钟“仰卧起坐”达标情况做一下评估．