Question

如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线也经过A点。

（1）求点A坐标；
（2）求k的值；
（3）若点P为x轴上一动点，在双曲线上是否存在一点Q，使得△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点， ∵△AOB是等腰直角三角形， ∴AM=AN， 设点A的坐标为（a，a），点A在直线y=3x-4上， ∴a=3a-4，解得a=2， 则点A的坐标为（2，2）； （2）易知k=4； （3）双曲线上是存在一点Q，使得△PAQ是等腰直角三角形， 过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点，连接AQ， 过A点作AP⊥AQ交x轴于P点，则△APQ为所求作的等腰直角三角形； 理由：在△AOP与△ABQ中，∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB， ∴∠OAP=∠BAQ，AO=BA，∠AOP=∠ABQ=45°， ∴△AOP≌△ABQ（ASA）， ∴AP=AQ， ∴△APQ是所求的等腰直角三角形， ∵B（4，0）， ∴Q（4，1）。