Question

17．如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别在BC、CD上，且BE=CF=3，AE、BF相交于M，求BM的长．

Answer 1

分析 先依据勾股定理求得AE的长，然后证明△ABE≌△BCF，于是得到∠BAE=∠FBC，故此可证明∠BMA=90°，最后在三角形ABE中利用面积法可求得MB的长．

解答 解：在△ABE中，由勾股定理得：AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=5．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCE=90°．
在△ABE和△BCF中$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF．
∴∠BAE=∠FBC．
∵∠ABM+∠FBC=90°，
∴ABM+∠BAM=90°．
∴∠AMB=90°．
∴AE•MB=AB•BE，即5MB=4×3．
∴MB=$\frac{12}{5}$．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、正方形的性质，证得MB⊥AE是解题的关键．