题目内容
如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(－2，－1)，且P(－1，－2)是双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．
(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；
(2)当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等?如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
(3)如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．
(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；
(2)当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等?如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
(3)如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．
(1)设正比例函数解析式为y＝kx，将点M(－2，－1)坐标代入得
，
所以正比例函数解析式为
，
同样可得，反比例函数解析式为
；
(2)当点Q在直线MO上运动时，设点Q的坐标为
，
于是S△OBQ＝
｜OB·BQ｜＝
·
m·m＝
m2
而S△OAP＝
｜(－1)(－2)｜＝1，
所以有，
，
解得m＝±2
所以点Q的坐标为Q1(2，1)和Q2(－2，－1)；
(3)因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，
而点P(－1，－2)是定点，所以OP的长也是定长，
所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．
因为点Q在第一象限中双曲线上，
所以可设点Q的坐标Q(n，
)，
由勾股定理可得OQ2＝n2＋
＝(n－
)2＋4，
所以当(n－
)2＝0即n－
＝0时，OQ2有最小值4，
又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值，所以OQ有最小值2．
由勾股定理得OP＝
，
所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2(OP＋OQ)＝2(
＋2)＝2
＋4．
，所以正比例函数解析式为
，同样可得，反比例函数解析式为
；(2)当点Q在直线MO上运动时，设点Q的坐标为
，于是S△OBQ＝
｜OB·BQ｜＝·m·m＝m2而S△OAP＝
｜(－1)(－2)｜＝1，所以有，
，解得m＝±2
所以点Q的坐标为Q1(2，1)和Q2(－2，－1)；
(3)因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，
而点P(－1，－2)是定点，所以OP的长也是定长，
所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．
因为点Q在第一象限中双曲线上，
所以可设点Q的坐标Q(n，
)，由勾股定理可得OQ2＝n2＋
＝(n－)2＋4，所以当(n－
)2＝0即n－＝0时，OQ2有最小值4，又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值，所以OQ有最小值2．
由勾股定理得OP＝
，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2(OP＋OQ)＝2(
＋2)＝2＋4．
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