Question

图1和图2，半圆O的直径AB=2，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP=α．
（1）当α=15°时，过点A′作A′C∥AB，如图1，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，当α=

 

°时，BA′与半圆O相切．当α=

 

°时，点O′落在

PB

上．
（3）当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，利用含30°角的直角三角形的性质可求得DE+OE=

1

2

A′B=

1

2

AB=OA，可判定A′C与半圆相切；
（2）当BA′与半圆相切时，可知OB⊥A′B，则可知α=45°，当O′在

PB

上时，连接AO′，则可知BO′=

1

2

AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°；
（3）利用（2）可知当α=30°时，线段O′B与圆交于O′，当α=45°时交于点B，结合题意可得出满足条件的α的范围．

解答：解：（1）相切，理由如下：
如图1，过O作OD过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，

∵α=15°，A′C∥AB，
∴∠ABA′=∠CA′B=30°，
∴DE=

1

2

A′E，OE=

1

2

BE，
∴DO=DE+OE=

1

2

（A′E+BE）=

1

2

AB=OA，
∴A′C与半圆O相切；
（2）当BA′与半圆O相切时，则OB⊥BA′，
∴∠OBA′=2α=90°，
∴α=45°，
当O′在

PB

上时，如图2，

连接AO′，则可知BO′=

1

2

AB，
∴∠O′AB=30°，
∴∠ABO′=60°，
∴α=30°，
故答案为：45；30；
（3）∵点P，A不重合，∴α＞0，
由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，
∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段BO′与半圆只有一个公共点B；
当α增大到45°时BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆只有一个公共点B．
当α继续增大时，点P逐渐靠近点B，但是点P，B不重合，
∴α＜90°，
∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．
综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．

点评：本题主要考查切线的判定和性质及含特殊角的直角三角形的性质，掌握切线的判定和性质是解题的关键，注意切线的判定方法有两种，即①有切点时连接圆心和切点证明垂直，②无切点时作垂直证明圆心到直线的距离等于半径；在（3）中注意结合（2）的两个极端情况进行判断范围即可．本题难度适中，属于综合性的基础题目．