题目内容

如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AD交小圆于M，N两点，大圆的弦AB切小圆于点C，过点C作直线CE⊥AD，垂足为E，交大圆于F，H两点．
（1）试判断线段AC与BC的大小关系，并说明理由；
（2）求证：FC•CH=AE•AO；
（3）若FC，CH是方程x²-2 $数学公式$ x+4=0的两根（CH＞CF），求图中阴影部分图形的周长．

（1）解：相等．
连接OC，则CO⊥AB，故AC=BC．

（2）证明：由△ACH∽△FCB，得AC•CB=FC•CH=AC²，
又由△ACE∽△AOC，得AC²=AE•AO．
∴FC•CH=AE•AO．

（3）解：解方程得：CH= $\text{[math]}$ +1，CF= $\text{[math]}$ -1，
CE= $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ -1）=1，AC²=4，AC=2，
在Rt△ACE中，sinA= $\text{[math]}$ ，
∴∠A=30°，∴∠AOC=60°，∠CON=120度．
在△ACO中，CO=AC•tanA=2× $\text{[math]}$ ，
AO= $\text{[math]}$ ，AM=AO-OM= $\text{[math]}$ ，
弧CN长= $\text{[math]}$ ，
AN=AM+2OC= $\text{[math]}$ ，
阴影部分周长=AC+AN+ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）相等，主要根据是垂径定理，从已知条件中可知AB为大圆的弦，且垂直于半径，所以相等．
（2）利用切线定理，和相交弦定理就可证明．
（3）先解方程求出根，再观察图发现阴影部分图形的周长就是一段弧长加一线段，分别计算相加．
点评：[点评]本题是比较传统的几何型综合压轴题，涉及圆、相似、三角等几何重点知识．