Question

数学课堂上，徐老师出示了一道试题：如图所示，在正三角形ABC中M是BC边（不含端点B，C）上任意一点.P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN。
（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。证明：在AB上截取EA=MC，连接EM，得△AEM
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2
又∵CN平分∠ACP，
∴∠4=∠ACP=60°
∴∠MCN=∠3+∠4=120° ①
又∵BA=BC，EA=MC，
∴BA-EA=BC-MC
即：BE=BM
∴△BEM为等边三角形
∴∠6=60°
∴∠5=180°-6=120°。②
由①②得∠MCN=∠5
在△AEM和△MCN中
∴（         ），（           ），（         ），
∴△AEM≌△MCN（ASA）
∴AM=MN。
（2）若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A₁B₁C₁D₁”（如图），N₁是∠D₁C₁P₁的平分线上一点，则当∠A₁M₁N₁=90°时，结论A₁M₁=M₁N₁是否还成立？
（3）若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形A_nB_nC_nD_n…X_n”，请你猜想：当∠A_nM_nN_n=（     ）时，结论A_nM_n=M_nN_n仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）

Answer 1

解：（1）∠5=∠MCN，AE=MC，∠2=∠1；
（2）结论成立；
（3） 。